有効数字１

２つの測定値x,yを考える
x,y の真の値をx ₀, y ₀, 誤差（標準偏差）を Δ x, Δ y と定める

x= x ₀+ Δ x ,
y= y ₀+ Δ y

x,yに対して、演算後の値x+y, x-y, xy, x/yの誤差を考える

z = x+y の真値をz ₀= x ₀+ y ₀, 絶対誤差を Δ z とする

Δ z
=z - z ₀ 
={(x ₀ +y ₀ )+( Δ x + Δ y)} - ( x ₀+ y ₀)
= Δ x + Δ y.

同様にして、

z=x-y;
Δ z = Δ x - Δ y.

z=xy;
Δ z/z ₀ （相対誤差）
={(x ₀+ Δ x)(y ₀+ Δ y )- x ₀ y ₀}/ x ₀ y ₀ 
= Δ x / x ₀+ Δ y / y ₀ +  Δ x Δ y / z ₀ .

z=x /y;
Δ z / z ₀ 
= {( x ₀+ Δ x)/( y ₀+ Δ y) - x ₀/ y ₀}/(x ₀/ y ₀)
=(1+ Δ x / x ₀)/ (1+ Δ y/ y ₀) -1
= ( Δ x / x ₀ - Δ y / y ₀)/(1+ Δ y / y ₀).

従って、
１　加算の絶対誤差は Δ x + Δ y
２　減算の絶対誤差は Δ x - Δ y
３　乗算の相対誤差は Δ x / x ₀+ Δ y / y ₀ + Δ x Δ y / z ₀ 
４　除算の相対誤差は ( Δ x / x ₀ - Δ y / y ₀)/(1+ Δ y / y ₀)

ここで、誤差が真値に対して非常に小さいとして、誤差を次のように近似する
１　加減算の絶対誤差 Δ x + Δ y
２　乗除算の相対誤差 Δ x / x ₀ + Δ y / y ₀ 

次回：有効数字２