きょうのじさくもんだい (2023.3.23)

急にどうした

ぽもどーろさんがやっていたので今日だけでもやろうと思います．

https://note.com/pomodor_ap/n/nbd4fb9088c7e

問題(OMC 300点程度)

　有理数係数 $${9}$$ 次多項式 $${P}$$ は，$${n=0,1,\ldots,9}$$ について $${P(n)=2^n}$$ を満たしています．

　このとき，$${P(13)}$$ を求めて下さい．

雑談(とばしてもいい)

そういえば先日OMCT003に参加して参加記書こうと思ったんですがAC2完(??)という悲惨な結果だったのでやめました．この人水solverらしいですよ．Bの｢接線と平行な線をとる｣ってやつ典型ぽいですね．おもろすぎ(これは数学面白いの意)．D垂足三角形の問題に帰着できたんですがそもそも垂足三角形の知識ありませんでした(？)．おもろ(これは自分を嘲笑う意)．というかセットが全体的に4bじゃないですよね．4eです(？？)
あとその後OMCT004がありましたね．7分全完は早い方だと思ったんですがどうなんでしょう…

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ヒント

二項定理．

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解説

　正整数 $${k}$$ について，
$${f_k(n)=\dfrac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}}$$
と定める．この値は $${n \geq k}$$ のとき $${{}_n \mathrm{C}_k}$$，$${0 \leq n \leq k-1}$$ のとき $${0}$$ となるため，二項定理を用いると次を得る．
$${P(n)=1+f_1(n)+\cdots+f_9(n)}$$
　よって，求める値は，
$${1+f_1(13)+\cdots+f_9(13)=\mathbf{7814}}$$
である．

ちょっと既出っぽいですね
でも自分で考えた問題なので既出じゃないです(謎理論)