Cinderellaで数学：いろいろな曲線：カバリエリの円錐曲線作図器
「曲線の事典」（礒田正美他編著：共立出版 2009）に掲載されているカバリエリの円錐曲線（放物線・楕円・双曲線）の作図器です。
放物線
図にある長方形 SBB'S'は，直線VQに沿って縦方向に滑り動くことができる。点Hは線分 SS' の中点を表している。点Qは，点Vを通る直線上の点で，HQ＝2pをみたす。線分SS’上に∠VPQ＝90°となる点Pをとる。長方が形SBB'S’が直線VQに沿って動くとき，点Pは放物線をかく。
どうでしょう。少し分かりにくいですね。作図器の写真と右の図は縦横が逆になっています。「HQ=2p」の p とはなんでしょうか。動点はどれでしょうか。
「HQ＝2pをみたす」については，みたすかどうかではなく，「HQ=2p とすると点Pの軌跡は，HV=x，HP=y と置いたとき $${y^2=2px}$$ と表せる。」ということなのです。それは，このあとの解説にかかれています。
△PHQ $${\sim}$$△VHPより，HQ：HP＝HP：HV が成り立つので、
HP$${^2}$$ =HV・HQ
ここで、HV=$${x}$$，HP＝$${y}$$ とおくと、上式は$${y^2=2px}$$ と表せる。ゆえに、点Pの動跡は直線 VQを軸とする放物線になる。
また，どれを動点と考えればよいのかは，Web上にある，カラー版の作図器を観察してみることにしましょう。
リンク先に行ったら，「円錐曲線」のページに進みます。その中に「Cavalieri ｶﾊﾞﾘｴﾘ による円錐曲線」があります。これも，写真と図は縦横が異なっていますが，写真をクリックして拡大してみると，動かせるもの，ピンで留められているようなものが，いくらかわかります。
その結果わかるのはつぎのことです。
・長方形SBB'S' は，必ずしも必要ではない。BとB'は作図に関与しない。
棒SS'を安定させるために長方形になっていると考えられる。
・HがVQ上の動点と考えられる。HQの長さは一定。図のPの軌跡が放物線の右半分になる。
実際にCinderellaで作図して確かめてみましょう。
① 点Vを原点としてとり（作図ではA）背景のy軸に合わせて下方に線分を描く。(VHのライン）
② ①の線分上に点を取る。これがHに相当し，動点になる。下の作図順ではC。
③ Qに相当する点を取る。HQは一定なので，円を描いて交点を取る。（D）
④ 中点を加えるツールでADの中点を取り，この点を中心に，Dを通る円を描く。
⑤ 線分ABに垂直でCを通る直線を描き，円との交点をFとする。
これで必要な点はとりました。AFとDFは結んでいませんが，結べば直角になりますね。軌跡ツールを選んで，動かす点としてC，軌跡を描く点としてFを選べば，放物線の半分が描かれます。
次の図は，点や線を追加し，点の名前も変えて，本の図と同じようにしたものです。
タイトル画面はさらに手を加えて作図器を模したものです。
楕円
図のように長方形 SBB'S'が与えられている。VT＝2p，VR＝2aとする。角Vが直角である直角三角形RVTがRTに沿って，SS'とVRが交点Hで直交するように動く。点QはVR上の点であり，∠AQH＝45°である。線分SS'上に∠VPQ＝90°となる点Pをとる。長方形SBB'S'が直線RTに沿って動くとき、点Pは楕円をかく。
カラー版の写真は次のページにあります。
今度は，写真と図とでは上下が逆さまですね。
「VT＝2p，VR＝2aとする」と，HV＝$${x}$$，HP＝$${y}$$ とおいて，Pの軌跡の方程式は $${y^2=\dfrac{p}{a}(2a-x)x}$$となる，というのが解説にありますが，誤植があるのと，条件不足なところがあるので引用はやめておきます。△TVRと△AHRが相似であることを使えば，この方程式を導くのはそれほど難しくないでしょう。
Cinderellaで作図するにあたって，何が定点なのかを明らかにしておきましょう。「VT＝2p，VR＝2aとする」ということは，VT，VRは一定ということです。作図器の写真（上下逆さまにして見てください）では，VRの棒はなく，台に点線が引かれていて，実際にはその左方にある棒が作図に関係するようです。ともかく，△TVRは動かない三角形なので，これを元にして作図しましょう。
① 直角三角形 TVRを適当な大きさで描きます。作図順では△ABCになります。
② AB上に点Dを取ります。これが動点で，本の図（以下，元図）のHになります。
③ 「∠AQH＝45°である」ような点A，Qをとるために，Dで垂線を引き，作図のBCとの交点を求め（E），Dを中心として半径DEの円を描き，作図のABとの交点を求めます（F）。作図のEが，元図のA，Fが元図のQに該当します。
④ AFの中点Gをとって，これを中心として半径AGの円を描き，直線DEとの交点Hを求めれば，これが元図のPになります。
これで必要な点はとりました。AHとHFは結んでいませんが，結べば直角になりますね。軌跡ツールを選んで，動かす点としてD，軌跡を描く点としてHを選べば，放物線の半分が描かれます。
次の図は，点や線を追加し，点の名前も変えて，元図と同じようにしたものです。
双曲線
図のように長方形SBB'S' が与えられている。VT=2p、VR＝2aとする。角Vが直角である直角三角形RTVがRTに沿って、SS'とVR が直交するように動く。点QはVR上の点であり，∠AQH＝45°である。線分SS'上に∠VPQ＝90°となる点Pをとる。長方形 SBB'S'が直線RVに沿って動くとき、点Pは双曲線をかく。
今度の写真と図は方向が合っています。条件は楕円とよく似ていますので，同じように作図できるでしょう。
