広島大学2002年：放物線と軌跡

問題

直線 $${x+y=1}$$ 上の点Qと，放物線 $${y=x^2}$$ 上の点Ｒに対し，２つの半直線OQ, OR の，$${x}$$ 軸の正の向きから測った角をそれぞれ$${\alpha,\ \beta}$$ とおき，線分QRの中点をPとおく。2点Q, R が $${\alpha=\beta+45^{\circ}}$$ , 0°<$${\beta}$$<45° を満たすように動くとき，点Pの軌跡を求めよ。

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　実際の問題には誘導の小問がありますが，なくてもそれほど難しくありませんし，自由に発想できるのではないかと思います。直線と$${x}$$ 軸とのなす角が与えられているので，ポイントは傾きが $${\tan \alpha,\ \tan \beta}$$ で表される，ということでしょう。
　ともかく図を描いてみましょう。

広島大学2002

リンク先を開くと次の図が出ます。「軌跡表示」ボタンが表示されていない場合は再読み込みしてください。

計算する前に，右側のスライダで角を動かしてみると様子がわかるでしょう。「軌跡を表示」ボタンを押すのはあとにしましょう。

　計算の手順の一例です。直線OQの傾きは $${\tan \alpha}$$，直線ORの傾きは $${\tan \beta}$$，ですので，$${\alpha=\beta+45^{\circ}}$$　から2直線の関係がわかります。Q$${(q,\ -q+1)}$$ とおくと，R$${(1-2q,\ (1-2q)^2)}$$ となり，Pの座標が$${q}$$ で表せます。求める軌跡の方程式は，$${y=8x^2-3x+\dfrac{1}{2}}$$ です。ただし，全体ではありません。そこは計算してください。
　軌跡表示ボタンを押すと結果がわかります。

※図はCinderella（CindyJS）で作成しています。