インドラの真珠：回転と相似変換

2022年2月3日 08:51

　図形を原点を中心として回転します。
点 $${(x,\ y)}$$を角θだけ回転した点を $${(X, \ Y)}$$とすると
　　 $${X=x \cos \theta-y \sin \theta }$$
　　 $${Y=x \sin \theta+y \cos \theta }$$
となります。
この係数を拾い出して
$${\begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta\\ \end{pmatrix} }$$
と表します。
これを「行列」といいます。行列を用いると，はじめの式は
$${\begin{pmatrix}X\\ Y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos \theta & \sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\ y\\ \end{pmatrix} }$$
と表すことができます。右辺は行列どうしのかけ算です。行列についての，詳しくはここでは説明を省きます。CinderellaJapanの「Cinderella入門「行列と変換」をごらんください。ここでは，このような行列を用いて回転ができる，と思うくらいでよいでしょう。さらに係数をつけると回転に加えて拡大・縮小ができます。

リンク先を開くと，見出し画像の図が出ます。「１．平行移動」で作った家の絵を回転・拡大縮小できます。図形を原点を中心として回転すると同時に原点を中心に拡大・縮小します。
　図で，赤いベクトルは青いベクトル（基本ベクトル）を回転したものです。赤いベクトル$${v_1}$$の終点（矢印の先端）をドラッグすると図形全体を任意に回転できます。ベクトルの長さも変えることができて、その長さに比例して図形も拡大・縮小されます。
　もとの図形は緑の点をドラッグして変形、左下の黒い点をドラッグして位置変更ができます。

　行列での計算は，回転行列をかけて、さらに拡大・縮小の係数をかけるのですが，このような変換を相似変換といいます。

こちらのリンク先を開くと回転・拡大縮小のものと同じような図が出ますが，こちらはベクトル$${v_1}$$ の大きさは一定です。したがって，変化するのは角$${\theta}$$ だけで，原点周りの回転だけをします。

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ここからあとは，この図の作り方です。
　Cinderellaでは、上の2つはいずれも「モード」メニューの「変換」「相似変換」で作図することができます。

　ベクトルを２つと家の絵を描いておきます。これは「平行移動」で描いたものと同じようなものですが，こんどはベクトルを２つにしますので，家の絵はDから始まります。描き方は「平行移動」のページを見てください。
まず，原点を始点とし，終点が$${x}$$ 軸上にある線分ABを作ります。次に，原点を始点とする線分ACを終点は適当にしてとります。「要素を動かす」ツールボタンを選んで，編集メニューからインスペクタを選び，この２つの線分を矢印にします。

「モード」メニューの「変換」から「相似変換」を選びます。相似変換の設定は４つのステップからなります。
まず「１つ目のもとになる点を選ぶかこのモードを抜けます」というガイドが出るので、まず点Aをクリックし，「１つ目の点が写る点を選んでください」というガイドがでたらもう一度点Aをクリックします。点Aを2回です。
「２つ目のもとになる点を選ぶかこのモードを抜けます」というガイドが出るので、ベクトルABの終点Ｂをクリックし，「２つ目の点が写る点を選んでください」というガイドがでたらベクトルACの終点Cをクリックします。

すると画面右上に相似変換のボタンができます。動かすモードで家の図全体を選んでボタンを押すと変換した図ができます。

点Ｃをドラッグして動作を確かめてください。
どうなっているか説明しましょう。∠BACが回転行列の角で，$${\overrightarrow{AB}}$$ と$${\overrightarrow{AC}}$$ の長さの比が拡大比になるように作ったのが，Cinderellaの変換ー相似変換なのです。
始めに原点中心の円を描いておいて、２つのベクトルの終点をこの円周上にとれば、ACの長さが一定なので，回転だけができます。

「平行移動」と同じように，家の図の位置を動かしたり，変形できるようにするには，CindyScriptで同じようなプログラムを描きます。
Initialization スロットに，oldpos=D.xy; を，Draw スロットに次のコードを書きます。

if(mover()==D,
  m=D.xy-oldpos;
  E.xy=E.xy+m;
  F.xy=F.xy+m;
  G.xy=G.xy+m;
  H.xy=H.xy+m;
  oldpos=D.xy;
);

なお，はじめにリンク先で動かしたものは，ベクトルが４つ（直交するベクトルの組）と行列の式が表示されています。これらは作図ツールやCindyScriptで作ることができますが，これはパスします。

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