ある一つの方程式で晴れ/雨、と決まる、という意味ではありません。ある位置・高度での局所的な大気の状態を決める複数の支配方程式（偏微分方程式の形をしている）を仮定して、スーパーコンピューターでシミュレーションする「数値予報」という手法が、天気予報に用いられている、という意味だと思います。つまり、大気の物理法則を偏微分方程式で表し、その方程式をシミュレーションした結果として、ある時点での大気の様子の予想状態は、「偏微分方程式の解」と言えなくはないと思います。
予報の方法に依ります。
例えば。
物理的に運動をシミュレートして予報する場合、それは(偏)微分方程式を逐次的に解くことになるので、質問文に記載の通りとなります。
他に、例えば。
特定の月における、前日の夜の天気が晴れの場合の次の日の晴れの確率は、それまでのデータと割り算で検討できますよね。
以下、情報を追記。メッシュの荒さや観測箇所の問題の他、街がどのぐらい熱を出すのかといった不確定要素もあり、なかなか複雑な分野。
・気象庁の予測方法
数値予報とは、計算機（コンピューター）を用いて地球大気や海洋・陸地の状態の変化を数値シミュレーションによって予測するものです。具体的には、最初に地球大気や海洋・陸地を細かい格子に分割し、世界から送られてくる観測データに基づき、それぞれの格子にある時刻の気温・風などの気象要素や海面水温・地面温度などの値を割り当てます。次にこうして求めた「今」の状態から、物理学や化学の法則に基づいてそれぞれの値の時間変化を計算することで「将来」の状態を予測します。この計算に用いるコンピュータープログラムを「数値予報モデル」と呼んでいます。
(中略)
数値予報モデルでは、大気の流れ（風）をはじめ、水蒸気が凝結して雨が降ること、地面が太陽に暖められたり冷やされたりすることなど、さまざまな現象が考慮されています。
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