令和元年度 理論科目 問2 電験3種過去問
問題
考え方
この問題は、平行平板コンデンサに関する問題である。平行平板コンデンサで使用する式は、
$$
\begin{align}
Q &= CV\tag{1}\\
E &= \frac{V}{d}\tag{2}\\
C &= \varepsilon \frac{S}{d}\tag{3}
\end{align}
$$
の3つが主に使用される。
ここで、$${Q}$$：コンデンサの電荷、$${C}$$：コンデンサの静電容量、
$${V}$$：電極板間電圧、$${E}$$：電極板間の電界の強さ、$${d}$$：電極板間距離、
$${\varepsilon}$$：コンデンサの誘電率、$${S}$$：電極板の面積
である。
$${E_{\rm{A}}}$$および$${E_{\rm{B}}}$$は、電極板間距離が分かっているため、式(2)から求めることができそうである。よって、各コンデンサの電圧について考えていく必要がある。
解答例
コンデンサの直列接続では、各コンデンサに蓄えられる電荷は等しい。そのため、式(1)より電極板間電圧$${V}$$は、
$$
\begin{align}
&\notag\\
V &= \frac{Q}{C} \propto \frac{1}{C} \tag{4}\\
\end{align}
$$
となり、静電容量の逆数に比例する。また、問題図の各列において、比誘電率$${\varepsilon_{\rm{r}}}$$は等しく、問題文より極板の形状と大きさが全て同一となっているため、静電容量$${C}$$は、式(3)より
$$
\begin{align}
&\notag\\
C &= \varepsilon \frac{S}{d} \propto \frac{1}{d} \tag{5}
\end{align}
$$
となり、電極板間距離の逆数に比例する。
式(4)と式(5)より電極板間電圧$${V}$$は、
$$
V \propto \frac{1}{C} \propto d \tag{6}
$$
となり、電極板間距離$${d}$$に比例する。
・$${E_{\rm{A}}}$$
問題文の1番左側を考える。
電極板間の距離の比は、上のコンデンサから添字を1、2、3とすると
$$
d_{1}:d_{2}:d_{3} = 2:3:5\tag{7}
$$
となる。よって、電極板間電圧$${V}$$の比は式(6)より
$$
V_{1}:V_{2}:V_{3} = 2:3:5\tag{8}
$$
と求まる。比の合計は、$${2+3+5=10}$$であり、$${V_{1}}$$、$${V_{2}}$$、$${V_{3}}$$の合計は$${10 \,\rm{kV}}$$なので、$${V_{1}}$$は、
$$
\begin{align}
&\notag\\
V_{1} &= 10\times 10^{3}\times \frac{2}{10} = 2\, [\rm{kV}]\tag{9}
\end{align}
$$
と求まる。
よって、コンデンサ内部の電界の強さ$${E_{\rm{A}}}$$は、式(2)より
$$
\begin{align}
&\notag\\
E_{\rm{A}} &= \frac{2}{2} = 1 \,\, [\rm{kV/mm}]\tag{10}
\end{align}
$$
と求まる。
・$${E_{\rm{B}}}$$
問題文の真ん中の列を考える。
電極板間の距離の比は、上のコンデンサから添字を1、2とすると
$$
\begin{align}
d_{1}:d_{2} &= 4:6\notag\\
&= 2:3\tag{11}
\end{align}
$$
となる。よって、電極板間電圧$${V}$$の比は式(6)より
$$
V_{1}:V_{2} = 2:3\tag{12}
$$
と求まる。比の合計は、$${2+3=5}$$であり、$${V_{1}}$$、$${V_{2}}$$の合計は$${10 \,\rm{kV}}$$なので、$${V_{1}}$$は、
$$
\begin{align}
&\notag\\
V_{1} &= 10\times 10^{3}\times \frac{2}{5} = 4\, [\rm{kV}]\tag{13}
\end{align}
$$
と求まる。
よって、コンデンサ内部の電界の強さ$${E_{\rm{B}}}$$は、式(2)より
$$
\begin{align}
&\notag\\
E_{\rm{B}} &= \frac{4}{4} = 1 \,\, [\rm{kV/mm}]\tag{14}
\end{align}
$$
と求まる。
よって、答えは(3)となる。
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