平成30年度 機械科目 問6 電験3種過去問
問題
考え方
この問題は、同期発電機に関する問題である。問題文の指示にあるようにベクトル図を書くとよい。条件によっては、ベクトル図を書かなくとも負荷角が求まるが、具体的な値が少ないときは、ベクトル図を書くことをオススメする。また、この問題では、単位法およびベクトル図を用いるため、これらが分からない場合は、関連記事を見ていただきたい。
解答例1
同期発電機の1相分の等価回路は図1のようになる。
端子電圧$${\dot{V}}$$を基準として、1相分のベクトル図を書くと図2のようになる。
よって、内部誘導起電力$${\dot{E}}$$は、
$$
\dot{E}=\dot{V}+jx_{s}\dot{I} \tag{1}
$$
となる。ここで、$${jx_{s}\dot{I}}$$を図3のように分解することを考える。
電流$${\dot{I}}$$は、力率$${\cos{30\degree}}$$なので、
$$
\dot{I} = I(\cos(30\degree)-j\sin(30\degree)) \tag{2}
$$
となる。式(2)の結果を式(1)に代入すると、
$$
\begin{align}
\dot{E}&=\dot{V}+jx_{s} I(\cos(30\degree)-j\sin(30\degree)) \notag \\
&= (V+x_{s}I\sin(30\degree))+jx_{s}I\cos(30\degree) \tag{3}
\end{align}
$$
と求まる。1相当たりの端子電圧$${\dot{V}}$$の大きさ$${V}$$は、単位法で考えているため、1 [p.u.]である。同期リアクタンス$${x_{s}}$$は、0.915 [p.u.]であり、電流$${I}$$は、0.4 [p.u.]であるから、内部誘導起電力の大きさ$${E}$$は、
$$
\begin{align}
E &=\sqrt{(V+x_{s}I\sin(30\degree))^{2}+(x_{s}I\cos(30\degree))^{2}} \notag \\
&= \sqrt{\left(1+0.915\times 0.4 \times \frac{1}{2} \right)^{2}+\left(0.915\times 0.4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{2}} \notag \\
&= 1.225 \rm{[p.u.]} \tag{4}
\end{align}
$$
となる。図3から負荷角$${\delta}$$を用いて、
$$
E\sin(\delta) = x_{s}I\cos(30\degree) \tag{5}
$$
の関係が求まる。よって、各値を代入すると$${\sin(\delta)}$$は、
$$
\begin{align}
E\sin(\delta) &= x_{s}I\cos(30\degree) \notag \\
1.225\times \sin(\delta) &= \left(0.915\times 0.4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \notag \\
\sin(\delta)&= 0.2587 \tag{6}
\end{align}
$$
電験では、関数電卓を使えないため、ここまで求めたら答えの角度を$${\sin}$$関数に代入して、近い値を探る必要がある。$${\sin(15\degree)}$$を計算すると、$${\sin(15\degree)=0.2588}$$であり、式(6)の値とほぼ一致する。よって答えは、(2)である。
解答例2
解答例1では、$${E\sin(\delta) = x_{s}I\cos(30\degree)}$$の関係式を用いたが、以下の関係式を用いてもよい。
$$
\begin{align}
E\cos(\delta) &= V+x_{s}I\sin(30\degree) \tag{7} \\
(V+x_{s}I\sin(30\degree)) \tan(\delta) &= x_{s}I\cos(30\degree) \tag{8}
\end{align}
$$
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交流回路のベクトル図
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サイト
https://sites.google.com/view/elemagscience/%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%A0