No221 16進数のナゾ

コンピュータに関する話でしょっちゅう出てくるコトバの一つに
16進数というものがあります。

コンピュータが2進数で動いている、という話はどこかで聞いたと
いう方も多いでしょう。ですがなんで16進数なのでしょうか？

そもそも16という数字がワケわかりません。

2進数ならともかく、なんで16進数なんていう中途半端な進法が
使われるのでしょうか？

今回はこのナゾに迫ります。

1. 16という値の意味

ネタを先に明かしておきます。
16進数というのは2進数の表記方法を改善しただけのもので、それ
以上の深い意味はありません。

2の4乗（＝2進数で4ケタ分＝4ビット）は16です。
つまり、2進数の4ケタ分を1ケタで表記できる方式なのです。

だったら、10進数でも良さそうなものですが、2進数→10進数は
非常に面倒です。
ですが、2進数←→16進数の変換は相互に簡単なルールで行えます
から便利で良かったのです。

要は2進数での表記をラクにした方式が16進数表記というワケです。

言ってみれば、今回の解説はこれが全てなのですが、2進数自体が
イマイチわからないという方も多いでしょうから、そこからいき
ましょう。

2. 2進数

10進数が10種類の数字（０～９）を使って計算をします。
それに対し、2進数は2種類の数字（０と１）を使って計算をします。

10進数では10種類の文字が使えますから、0→1→2→3...→9まで
1ケタの数字で表現でき、9の次にケタ上がりが起きて、10となり
ます。
ですが、2進数では2つの数字しかありませんから、0→1 しかあり
ません。その次の値（10進数の2）はケタ上がりが起きて 10 と
なります。

表形式にしてみましょう。

10進数　2進数
　0　…　0
　1　…　1
　2　…　10
　3　…　11
　4　…　100
　5　…　101
　6　…　110
　7　…　111
　8　…　1000
　9　…　1001
10　…　1010

なんとも妙な感じですが、2種類しか数字がないため、めった
やたらとケタ数が増えていきます。

例えば、
　1,000　…　1111101000 （10ケタ）
　10,000　…　10011100010000 （14ケタ）
　 100,000　…　11000011010100000 （17ケタ）
　1,000,000　…　11110100001001000000 （20ケタ）

と、すごいペースでケタ数が増えていきます。

このようにやたらとケタ数が増えると書くのも読むのも大変です。

これを少しでもラクに扱えるようにと工夫したのが16進数なの
です。

3. 16進数

さて、問題の16進数です。

上述の通り、10進数は10種類の数字（０～９）、2進数は2種類の
数字（０と１）を使います。

では16進数は？

そりゃ、16種類の数字を使います。だから０～....？ってあれ？
数字は16種類もないですよ。
現代人は10進数しか使いませんから、数字は10種類に決まって
ます。
でも16進数を表記するには、何とかして16種類の文字を捻り出す
必要があります。

どうすれば良いのでしょうか？

そこで無理矢理考案されたのが、文字をアルファベットで代用
する方式でした。0～9の10種類に加えて、A～Fの6種類の文字を
「数字」として使うわけです。

ですので、16進数と10進数の対応は次のようになります。

10進数　16進数
　0　…　0
　1　…　1
　2　…　2
　3　…　3
　4　…　4
　5　…　5
　6　…　6
　7　…　7
　8　…　8
　9　…　9
10　…　A
11　…　B
12　…　C
13　…　D
14　…　E
15　…　F
16　…　10

これもまた2進数と違う意味で不思議な表記です。10になっても
ケタが変わらないというのは妙な感覚です。

16進数では2進数と逆に10進数よりも表記のケタ数が少なくなり
ます。

例えば、5ケタの10進数の40,000を16進数で表記すると9C40と
4ケタで済んでしまいます。

ここで「ははぁ」と思い当たる方もおられるかもしれません。

例えば、Windows上でアプリが異常終了した時のエラーコード、
MACアドレス（ネットワークで使われる機器のIDのようなもの）、
電子証明書の指紋（フィンガープリント）などはいずれも16進数
で表記されています。

4. 2進数←→16進数変換

最初に書いた通り、2進数と16進数は非常に簡単に相互変換ができ
ます。

10進数　16進数　2進数
　0　…　0　…　0
　1　…　1　…　1
　2　…　2　…　10
　3　…　3　…　11
　4　…　4　…　100
　5　…　5　…　101
　6　…　6　…　110
　7　…　7　…　111
　8　…　8　…　1000
　9　…　9　…　1001
10　…　A　…　1010
11　…　B　…　1011
12　…　C　…　1100
13　…　D　…　1101
14　…　E　…　1110
15　…　F　…　1111
16　…　10 …　10000

注目していただきたいのは、最後の16のところです。
2進数と16進数が同時にケタ上がりしています。つまり、2進数の
4ケタ毎に16進数もケタ上がりするということです。

これは、2進数4ケタをそのまま16進数に置き換えられることを
示しています。

例えば、16ケタの2進数 を16進数に置換してみましょう。
（以下では見やすいように2進数の4ケタ毎に空白を入れています）

例1： 1010 1100 0101 0011

　1010 1100 0101 0011
　 ↓ ↓ ↓ ↓
　1010 1100 101 11
　 ↓ ↓ ↓ ↓
　　A C 5 3
　
　→16進数では、AC53となります。

例2： 1110 1100 1101 0011 （2箇所の0と1を変更）

　1110 1100 1101 0011
　 ↓ ↓ ↓ ↓
　1010 1100 1101 11
　 ↓ ↓ ↓ ↓
　　E C D 3

　→16進数では、ECD3となります。

この通り非常に単純な置換が可能です。
もちろん、16進数から2進数への変換も同様の手順で行えます。

ですが、10進数←→2進数の変換はこうはいきません。
1ケタづつ計算をするしかないのです。
つまり、こうなります。

例1： 1010 1100 0101 0011
　これを10進数に直すには、次のような計算が必要になります。

　1 * 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2 +
　0 * 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2 +
　1 * 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2 +
　0 * 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2 +
　1 * 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2 +
　1 * 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2 +
　0 * 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2 +
　0 * 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2 +
　0 * 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2 +
　1 * 2* 2* 2* 2* 2* 2 +
　0 * 2* 2* 2* 2* 2 +
　1 * 2* 2* 2* 2 +
　0 * 2* 2* 2 +
　0 * 2* 2 +
　1 * 2 +
　1
　= 44115

　ものすごく複雑に見えますが、要は2進数の各ケタに2のn乗をかけた
　計算を繰り返しているだけです。
　各行の最初の１文字が変換元の2進数の値の１ケタにあたります。
　（結果的に2進数を縦書きした形になっています）

　16進数に比べて、明らかに面倒な計算が必要になることがわかる
　と思います。

　実は2進数→10進数はまだ楽で、10進数→2進数変換ははるかに面倒
　な計算が必要となります。

　基本的には、2進数の全てのケタ（この例では16ケタ）が１か０かを
　判断し、必要な計算をするという手順を繰り返すことになります。

　※以下の計算式は「求めるのが大変」なのを示すために書いたもの
　　ですので、読み飛ばしていただいて問題ありません。

　1) 44115 ≧ 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2 か？
　　を調べます。
　　この 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2 というのは、
　　2進数では 1000 0000 0000 0000、10進数では 32768 となります。
　　なので、44115 ≧ 32768 かどうかを調べることになります。
　　結果はYesですから、
　　変換結果に 1000 0000 0000 0000 を加え、44115-32768=11347 を得て、
　　以降はその結果の11347を使います。

　2) 11347 ≧ 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2 か？
　　を調べます。
　　今度は、2進数では 100 0000 0000 0000、10進数では 16384 です。
　　なので、11347 ≧ 16384 かどうかを調べることになります。
　　結果はNoですから、
　　そのケタ位置は2進数では０であることがわかります。
　　値がゼロですので、特に計算は行いません。

　3) 11347 ≧ 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2 りも大きいか？
　　を調べます。
　　今度は、2進数では 10 0000 0000 0000、10進数では 8192 です。
　　なので、11347 ≧ 8192 かどうかを調べることになります。
　　結果はYesですから、
　　変換結果に 10 0000 0000 0000 を加え、1010 0000 0000 0000 とします。
　　また、11347-8192=3155 を得、以降はその結果の3155を使います。

　4) 3155 ≧ 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2 か？
　　を調べます。
　　今度は、2進数では 1 0000 0000 0000、10進数では 4096 です。
　　なので、3155 ≧ 4096 かどうかを調べることになります。
　　結果はNoですから、
　　そのケタ位置は2進数では０であることがわかります。
　　値がゼロですので、特に計算は行いません。

　5) 3155 ≧ 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2 か？
　　を調べます。
　　今度は、2進数では 1000 0000 0000、10進数では 2048 です。
　　なので、3155 ≧ 2048 かどうかを調べることになります。
　　結果はYesですから、
　　変換結果に 1000 0000 0000 を加え、1010 1000 0000 0000 とします。
　　3155-2048=1107 を得、以降はその結果の1107を使います。

　6) 1107 ≧ 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2 か？を
　　調べます。
　　今度は、2進数では 100 0000 0000、10進数では 1024 です。
　　なので、1107 ≧ 1024 かどうかを調べることになります。
　　結果はYesですから、
　　変換結果に 100 0000 0000 を加え、1010 1100 0000 0000 とします。
　　1107-1024=83 を得、以降はその結果の83を使います。

　7) 83 ≧ 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2 か？を調べ
　　ます。
　　今度は、2進数では 10 0000 0000、10進数では 512 です。
　　なので、83 ≧ 512 かどうかを調べることになります。
　　結果はNoですから、
　　そのケタ位置は2進数では０であることがわかります。
　　値がゼロですので、特に計算は行いません。

　8) 83 ≧ 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2 か？を調べます。
　　今度は、2進数では 1 0000 0000、10進数では 256 です。
　　なので、83 ≧ 256 かどうかを調べることになります。
　　結果はNoですから、上と同様で計算は不要です。

　9) 83 ≧ 2* 2* 2* 2* 2* 2* 2 か？を調べます。
　　今度は、2進数では 1000 0000、10進数では 128 です。
　　なので、83 ≧ 128 かどうかを調べることになります。
　　結果はNoですから、上と同様で計算は不要です。

　10) 83 ≧ 2* 2* 2* 2* 2* 2 か？を調べます。
　　今度は、2進数では 100 0000、10進数では 64 です。
　　なので、83 ≧ 64 かどうかを調べることになります。
　　結果はYesですから、
　　変換結果に 100 0000 を加え、1010 1100 0100 0000 とします。
　　83-64=19 を得、以降はその結果の19を使います。

　11) 19 ≧ 2* 2* 2* 2* 2 か？を調べます。
　　今度は、2進数では 10 0000、10進数では 32 です。
　　なので、19 ≧ 32 かどうかを調べることになります。
　　結果はNoですから、計算は行いません。

　12) 19 ≧ 2* 2* 2* 2 か？を調べます。
　　今度は、2進数では 1 0000、10進数では 16 です。
　　なので、19 ≧ 16 かどうかを調べることになります。
　　結果はYesですから、
　　変換結果に 1 0000 を加え、1010 1100 0101 0000 とします。
　　19-16=3 を得ます。

　13) 3 ≧ 2* 2* 2 か？を調べます。
　　今度は、2進数では 1000、10進数では 8 です。
　　なので、3 ≧ 8 かどうかを調べることになります。
　　結果はNoですから、計算は行いません。

　14) 3 ≧ 2* 2 か？を調べます。
　　今度は、2進数では 100、10進数では 4 です。
　　なので、3 ≧ 4 かどうかを調べることになります。
　　結果はNoですから、計算は行いません。

　15) 3 ≧ 2 か？を調べます。
　　結果はYesですから、
　　変換結果に 10 を加え、1010 1100 0101 0010 とします。
　　3-2=1 を得ます。

　16) 1 ≧ 1 か？
　　なので2進数に 1 を加算。
　　変換結果に 1 を加え、1010 1100 0101 0011 とします。
　　1-1=0 となります。

　これだけ手間をかけてやっと目的の 1010 1100 0101 0011 という
　２進数を得ることができます。

　こんなのはとてもやってられません。
　だから、10進数で2進数の代用するというのは現実的でないのが
　わかります。

5. 余談：8進数が使われた時代も...

この16進数というのは何も絶対的な基準などではなく、単に便利だ
から使っているに過ぎません。

実際、かなり昔の話となりますが、1970年頃は16進数はほとんど
使われておらず、8進数がよく使われていたようです。（筆者も実際
に8進数を使われていた時代は全く知らず、古い資料で得た知識です）

8進数も16進数と目的は同じで、2進数表記の読みづらさを改善する
ことが目的でした。

8進数が愛用されたのは、当時のCPUは12ビットや24ビットのものが
多く、最少の情報単位が6ビットとなっているものが多かったため
です。
8進数は2進数3ケタ分（＝3ビット）を1ケタで表記できますので、
6ビットの情報を表記するには丁度組具合が良く、2進数4ケタ分を
1ケタで表記する16進数よりも使い易かったのでしょう。

実際、1970年代に開発されたUNIXというOSには ファイル内容を
8進数で表示してくれる od (Octal dump：８進数出力）という
コマンドがありました。現在も使えるのですが、主として16進数
変換に利用されています。
今となっては、odコマンドの語源を知らない人も多いことでしょう。

こういった点でも時代の流れを感じられるのは面白い話です。

6. まとめ

16進数という表記がコンピュータ関連では多用されています。

コンピュータは2進数で動作しているのですが、2進数をそのまま
書くと非常に長くなってしまいます。

それを簡便に扱えるようにするため、2進数4ケタを1ケタで表記
できる16進数が多用されるようになっています。

実際、16進数と2進数の相互変換は計算なしででき非常に簡単です。

一方、10進数と2進数の相互変換は計算が必要となり、かなり面倒
で、簡単とは言えません。

もっとも、16進数が利用され始めたのはせいぜい1970年代後半の
話で、それ以前は8進数が多用されていたようです。
（当時は2進数をそのまま使っているケースも多かったようです）

今回はお盆明けなので、軽目の話題を短かい目に、と思ったのです
が、メルマガ史上、最長(本文が400行越え)になってしまいました。

「わかった！」と思っていただければ、とても嬉しいです。

次回もお楽しみに。