２次元正規分布の密度関数

$${X,Y}$$が以下のような密度関数を持つとき、「$${X,Y}$$は2次元正規分布に従う」ということができる。

$${f(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma_x \sigma_y \sqrt{1 - \rho^2}} \exp\left(-\frac{1}{2(1-\rho^2)} \left[ \frac{(x - \mu_x)^2}{\sigma_x^2} + \frac{(y - \mu_y)^2}{\sigma_y^2} - \frac{2\rho(x - \mu_x)(y - \mu_y)}{\sigma_x \sigma_y} \right] \right)}$$

これを$${y}$$で積分することにより、$${X}$$の周辺密度関数を求めることができます。

$$
\begin{align*}
f(x) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) dy \
&= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2\pi\sigma_x \sigma_y \sqrt{1 - \rho^2}} \exp\left(-\frac{1}{2(1-\rho^2)} \left[ \frac{(x - \mu_x)^2}{\sigma_x^2} + \frac{(y - \mu_y)^2}{\sigma_y^2} - \frac{2\rho(x - \mu_x)(y - \mu_y)}{\sigma_x \sigma_y} \right] \right) dy \
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_x^2}} \exp\left(-\frac{(x - \mu_x)^2}{2\sigma_x^2}\right)
\end{align*}
$$

これを見ると、$${X}$$は平均が$${\mu_x}$$分散が$${\sigma_x^2}$$の正規分布に従っていることがわかる。これは２次元正規分布の重要な特徴である。