単利と複利について

本日の内容！

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経済学や数学では、単利や複利という言葉をよく目にすると思います。本日は、この単利と複利についてわかりやすく解説していきたいと思います。

本日は以下の例題を通じて、単利・複利についての理解を深めていきましょう。

現在の債券の価格を $${P}$$ とし、1年ごとに $${C}$$円の利息が支払われ、$${T}$$ 年後に債券が価格$${F}$$で償還されるケースを考えてみましょう。

単利

$${単利 = \frac{(C \times T + F - P)}{P \times T} }$$

複利

複利は、元本だけでなく、発生した利息にも利息がつく方式です。複利では、利息が定期的に元本に追加され、その合計額に対して次の期間の利息が計算されます。複利の場合、1年間に $${m}$$ 回再投資が可能だとすると、次のように計算されます：

$${P = \sum_{t=1}^{T} \frac{C}{(1 + \frac{R}{m})^{mt}} + \frac{F}{(1 + \frac{R}{m})^{mT}} }$$

ここで、$${R}$$は年間利率を表します。この式は、各期における利息支払いが再投資された場合の現在価値を合計したものです。さらに、再投資の頻度を無限大にすると、複利の計算は連続複利になります。この場合、次のような式になります：

$${ P = \sum_{t=1}^{T} \frac{C}{\exp(Rt)} + \frac{F}{\exp(RT)} }$$

この連続複利の式は、利息が絶え間なく再投資される場合の理論上の最大の現在価値を示します。

比較と理解

単利と複利の違いを理解することで、債券の価格や利息の計算がより明確になります。例えば、単利では利息が元本に対して固定されていますが、複利では利息が利息に対しても計算されるため、時間が経つにつれて総利息が増加します。

具体例を挙げると、元本が100円、年間利率が5%、期間が3年の場合、単利では毎年5円の利息が付き、3年間で15円の利息となります。一方、複利では1年目に5円、2年目にその5円に対しても利息がつき、総額が増加していきます。

このように、単利と複利の概念を理解することで、経済や金融における利息計算がより身近に感じられるでしょう。どちらの方法が適用されるかによって、最終的な利益が大きく異なることを理解しておくことが重要です。

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