品質管理検定2級　 #26-03-001

【問 26-03-001】

確率分布に関する次の文章において、$${\boxed{\space\space\space}}$$内に入るもっとも適切なものを下欄のそれぞれの選択肢からひとつ選ベ。ただし、各選択肢を複数回用いることはない。

2つの確率変数$${X,\space{Y}}$$の期待値をそれぞれ$${E(X),\space{E(Y)}}$$とし、$${a,\space{b}}$$を定数とすると、
$${E(aX+b)=\boxed{(14)}}$$
$${{E(aX+bY)=\boxed{(15)}}}$$
が成立する。

選択肢
ア.$${E(X)}$$　　　イ.$${aE(X)}$$　　　ウ.$${aE(X)+b}$$
エ.$${aE(X)+bE(Y)}$$　　　オ.$${abE(X)E(Y)}$$　　　カ.$${E(X^2)}$$
キ.$${E(X^2)-{\mu}^2}$$　　　ク.$${E(X^2)+{\mu}^2}$$

正解

(14)　ウ.$${aE(X)+b}$$
(15)　エ.$${aE(X)+bE(Y)}$$

期待値の式の問題。正直、苦手でした😅
意味が分からないのに、式を覚えようとしていたから。意味が分かればどうってことはありません。

6面体の1〜6がアって、どれも同じ程度に出ることが期待されるサイコロを例にします。
「期待値」って、無限に試したときに、その平均値がいくつになるか、です。正確な表現じゃないかもしれないけど。
サイコロなら、1〜6のがどれも確率$${\frac{1}{6}}$$で出るとすれば、
$${\frac{1}{6}+\frac{2}{6}+\frac{3}{6}+\frac{4}{6}+\frac{5}{6}+\frac{6}{6}=3.5}$$
です。サイコロを1回振って出る目の期待値は3.5。
$${E}$$は期待値(Expectation)です。これは変数じゃないです。記号みたいなもの。
$${X,Y}$$は確率変数。サイコロの、1, 2, 3, 4, 5, 6 を表します。
確率P(Probability)は、$${P(X=1)=\frac{1}{6}}$$ (1が出る確率)、
$${P(X=1,2,3)=\frac{1}{2}}$$ (1か2か3が出る確率)です。

$${E(aX+b)}$$のうち、$${a,b}$$は定数です。値は固定。確率に影響されません。サイコロだと、目の数$${X}$$を$${a}$$倍して$${b}$$を足したもの。
確率に影響されるのは確率変数$${X}$$だけ。なので、期待値$${E(X)}$$を$${a}$$倍して$${b}$$を足した
$${aE(X)+b}$$
になります。
これが分かれば次の$${E(aX+bY)}$$も一緒。$${E(X)}$$の$${a}$$倍と$${E(Y)}$$の$${b}$$倍を足したものになりますから、
$${aE(X)+bE(Y)}$$
ですね。あー、簡単！　もう、悩むことはない！
記号を攻略出来れば、なんてことはない。当たり前のこと。

ではー。