品質管理検定2級　 #26-02-001

【問 26-02-001】

ポアソン分布に関する次の文章において、$${\boxed{\space\space}}$$内に入るもっとも適切なものを下欄のそれぞれの選択肢からひとつ選びなさい。ただし、各選択肢を複数回用いることはない。

ある機械の1週間当たりに発生する故障件数を40週間にわたって調べたところ、下表の度数分布表のようになった。

表　ある機械の故障件数の度数分布

表から1週間当たりの平均故障件数$${\lambda}$$を推定すると、$${\hat{\lambda}}$$の推定値 $${=\boxed{(9)}}$$となる。この機械の1週間当たりの故障件数$${X}$$にポアソン分布を仮定すると
$${Pr(X=x)=\boxed{(10)}}$$により表すことができる。したがって、この機械の信頼度は$${Pr(X=0)=\boxed{(11)}=0.535}$$となり、この機械の不信頼度は$${\boxed{(12)}}$$となる。さらに、1週間当たりに2件以上の故障が発生する確率は$${\boxed{(13)}}$$により与えられる。

$${\boxed{(9)}\space\boxed{(12)}\space\boxed{(13)}}$$の選択肢
ア. 0.125　　　イ. 0.131　　　ウ. 0.375
エ. 0.425　　　オ. 0465　　　カ. 0.625

$${\boxed{(10)}\space\boxed{(11)}}$$の選択肢
ア. $${e^{-0.625}}$$　　　イ. $${0.625e^{-0.625}}$$
ウ. $${0.625(0.375)^{x-1}}$$　　　エ. $${e^{-0.625}\times\cfrac{0.625^x}{x!}}$$

正解

(9) カ. 0.625
(10) エ. $${e^{-0.625}\times\cfrac{0.625^x}{x!}}$$
(11) ア. $${e^{-0.625}}$$
(12) オ. 0465
(13) イ. 0.131

「ポアソン分布」は、二項分布でサンプル数nが大きく、確率Pが小さい状態のものです。よく例に使われるのが交通事故で、たくさんの自動車が走っています画、事故の起こる確率は小さい、というものです。二項分布は、「ある」か「なし」か、どちらかの値を取るものです。問題の表にもあるように発生確率が低いので、0回、１回がそこそこ発生するけど、2回、3回と、頻度が多いことは起こりにくくなります。
ポアソン分布の式は、
$${Pr(x)=e^{-\lambda}\times\cfrac{\lambda^x}{x!}}$$
これ、問題を解くのに必要です。

1週間当たりの平均故障件数$${\lambda}$$の推定値は、$${\hat{\space}}$$を付けた$${\hat{\lambda}}$$で表します。
「全ての故障件数」を「調査した週の数」で割れば、1週間当たりの平均故障件数の推定値$${\hat{\lambda}}$$になります。
全ての故障件数は、1週間で、
0回が21週で0回故障、
1回が14週で14回故障、
2回が4週で8回故障、
3回が1週で3回故障、
4回が0週で0回故障。
全ての故障件数は、0+14+8+3+0=25回。
調査した週は40週。
推定される1週間当たりの平均故障件数は、
$${\hat{\lambda}=\cfrac{25}{40}=0.625}$$　ーーー(9)

$${\hat{\lambda}=}$$0.625 が分かったので、$${Pr((x)=e^{-\lambda}\times\cfrac{\lambda^x}{x!}}$$に当てはめれば、
$${e^{-0.625}\times\cfrac{0.625^x}{x!}}$$　ーーー(10)

1週間当たりの故障件数0回の信頼度は、(10)で得た式に$${x=0}$$を当てはめて、
$${e^{-0.625}\times\cfrac{0.625^0}{0!}=e^{-0.625}=0.535}$$　ーーー(11)
$${x^0=1}$$
$${0!=1}$$をお忘れなく！

問題文中の0.535を使って、不信頼度を出します。全確率1から0.535を引いて、
1 - 0.535 = 0.465　ーーー(12)

1週間に2件以上の故障が起こる確率は、全体の確率1から0件と1件の起こる確率を引けば出ます。0件は問題文から、$${e^{-0.625}=0.535}$$となっています。
1件の起こる確率は、
$${e^{-0.625}+e^{-0.625}\times\cfrac{0.625^1}{1!}=0.535+0.535\times0.625=0.535+0.334=0.869}$$
$${1-0.869=0.131}$$　ーーー(13)

ポワソン分布問題は、意味が分からない、式が分からないとなると、運任せになってしまいます。知っていれば短時間で回答できるおいしい問題なので、ぜひ覚えておきましょう。出題されなかったら残念！

ではー。