品質管理検定2級　 #26-03-002

【問 26-03-002】

確率分布に関する次の文章において、$${\boxed{\space\space\space}}$$内に入るもっとも適切なものを下欄のそれぞれの選択肢からひとつ選ベ。ただし、各選択肢を複数回用いることはない。

2つの確率変数$${X,\space{Y}}$$の期待値をそれぞれ$${E(X),\space{E(Y)}}$$とし、$${a,\space{b}}$$を定数とすると、
$${E(aX+b)=aE(X)+b}$$
$${E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)}$$
が成立する。
また、$${E(X)=\mu}$$とし、$${X}$$の分散を$${V(X)}$$で表すと、$${V(X)}$$は、
$${V(X)=E\{(X-\mu)^2\}=\boxed{(16)}}$$
に展開される。さらに、
$${V(aX+b)=\boxed{(17)}}$$が成立する。

(16)の選択肢
ア.$${E(X)}$$　　　イ.$${aE(X)}$$　　　ウ.$${abE(X)E(Y)}$$
エ.$${aE(X)+b}$$　　　オ.$${aE(X)+bE(Y)}$$　　　カ.$${E(X^2)}$$
キ.$${E(X^2)-{\mu}^2}$$　　　ク.$${E(X^2)+{\mu}^2}$$

(17)の選択肢
ア.$${V(X)}$$　　　イ.$${aV(X)}$$　　　ウ.$${aV(X)+b}$$
エ.$${a^2V(X)}$$　　　オ.$${a^2V(X)+b}$$　　　カ.$${a^2V(X)+b^2}$$

正解

(16)　キ.$${E(X^2)-{\mu}^2}$$
(17)　エ.$${a^2V(X)}$$

期待値や分散の式の問題。正直、苦手でした😅
意味が分からないのに、式を覚えようとしていたから。意味が分かればどうってことはありません。でも、分散の式の方は計算すると時間がかかります。出来れば暗記してしまいたいところ。しかし意味が分かれば、忘れてしまってもちょっと時間をかけて解くことが出来そうです。

$${V(X)=E\{(X-\mu)^2\}}$$
なんでこうなるのか。知らなくても計算していけば良いのですけど気になってしまいます。分散$${{\sigma}^2}$$の計算は、
$${{\sigma}^2=\cfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2}{n}}$$
各$${x_i}$$の値から、$${\overline{x}}$$を引いて、2乗したものの合計をサンプル数で割ったものです。確率変数$${X}$$から平均を引いて2乗したものの期待値と同じです。うまく説明できていない気もしますが、イメージはそんなところ。
中学校で習った公式　
$${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$$
$${(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$$
を使います。
$${V(X)=E\{(X-\mu)^2\}}$$
　$${=E(X^2-2{\mu}X+{\mu}^2)}$$
ここで期待値として展開します。
確率変数$${{X}$$は、そのまま$${E({\space})}$$の中に入れます。
$${X^2}$$は、$${E(X^2)}$$　になります。
定数と確率変数の積は、確率変数部分を$${E({\space})}$$の中に入れて、定数部分との積にします。
$${-2{\mu}X}$$は、$${-2{\mu}E(X)}$$　になります。
定数だけの部分は確率と関係ないので、そのままになります。
$${{\mu}^2}$$は、そのまま　$${{\mu}^2}$$ となります。
全部合わせて、
　$${=E(X^2)-2{\mu}E(X)+{\mu}^2}$$
ここで、問題文中の　$${E(X)=\mu}$$　を使います。単に代入します、と言えばそれまでなのですが、$${E(X)}$$　って、確率変数$${X}$$の期待値なので、平均$${\mu}$$になるとイメージしてください。
$${-2{\mu}E(X)}$$ に $${E(X)=\mu}$$　を代入すれば、
$${-2{\mu}^2}$$ になります。式全体は、
　$${=E(X^2)-2{\mu}^2+{\mu}^2}$$
　$${=E(X^2)-{\mu}^2}$$
となります。これが(16)ですね。

次の　$${V(aX+b)=\boxed{(17)}}$$　は、(16)の問題文中にある
$${E(X)={\mu}}$$　　　　　　　ーーー(a)
$${V(X)=E\{(X-\mu)^2\}}$$　　　ーーー(b)
を使います。
(b)式の
$${X=(aX+b)}$$ 　　　紛らわしくてごめんなさい。
$${{\mu}=E(aX+b)}$$　です。
代入して展開していきます。
$${V(aX+b)}$$
$${=E[\{(aX+b)-E(aX+b)\}^2]}$$
$${=E[\{aX+b-aE(X)-b\}^2]}$$
$${=E[\{aX-aE(X)\}^2]}$$
$${=E[a^2\{X-E(X)\}^2]}$$
　$${E(X)={\mu}}$$　ーーー(a) なので、
$${=E\{a^2(X-{\mu})^2\}}$$　　　$${a^2}$$は定数なので、$${E(\space)}$$の外に出します。
$${=a^2E\{(X-{\mu})^2\}}$$
　$${V(X)=E\{(X-\mu)^2\}}$$　ーーー(b)なので、
$${=a^2V(X)}$$
となります。

正直、こういうのが役に立つのか分かりませんが試験に出ますね。丸暗記でも良い気がしますが、いろいろと覚えることもあるので、計算方法を理解しておけば対応しやすいはず。と言っても、意外と試験時間は短いです。

ではー。