楕円曲線とは２？

背景

前回まで

$$
4a^3+27b^2=0
$$

の場合に楕円曲線が滑らかな曲線にならない理由はどうしてだろう？

特異点が存在しない条件

$$
F=y^2-x^3-ax-b \\
とする \\
\frac{\partial F}{\partial x} = 3x^2 +a \\
\frac{\partial F}{\partial y} = 2y
$$

で、この偏微分が0ではない、ことが必要です。工学的にもそうだね、と分かる
つまり

$$
3x^2 +a = 0 \\
2y = 0 \\
ここから、x^2 = -\frac{a}{3} \\
x^2 = -\frac{a}{3}は置いといて、y=0ですから、 \\
x^3+ax+b=0 \\
$$

となり、この解が3つの実数解である必要があるということ。
3次方程式の判別式は

$$
x^3+px+q=0 \\
の場合、\\
\Delta = -4p^3-27q^2
$$

ここで、p=aで、q=bですから

$$
\Delta = -4a^3-27b^2
$$

さらに整理（16をかける理由は未解析）すると、

$$
\Delta = -16(4a^3+27b^2)
$$

aが例えば-1ならば、すぐにbが求められます。

$$
x^2 = -\frac{a}{3}
$$

から、y=0と交わるxの値が、この式で求められるはずです。あっているのか？
グラフは
a=-1、b=0.3849001794597505
の場合です。

y=0となるのは、x=0.6ぐらいですね。

$$
x^2 = \frac{1}{3} \\
x = \sqrt{\frac{1}{3} } =0.573
$$

大体、x=0.6でy=0と交わっている。
合っているようです。

所感

次は
楕円曲線 (E) が特定のガロア表現を持つことを示す。