ベルトラミの公式

関数 $${f}$$ が $${x}$$ を陽にもっていない場合のオイラーの方程式を，ベルトラミの公式と呼ぶ．

$${f=f(y, y')}$$ とする．

$$
\frac{df}{dx}=\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)\left(\frac{dy}{dx}\right)+\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\left(\frac{dy'}{dx}\right)
$$

また，オイラーの方程式に $${\displaystyle y'=\frac{dy}{dx}}$$ をかけると

$$
y'\frac{\partial f}{\partial y}-y'\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)=0
$$

上の二つの式から $${\displaystyle y'\frac{\partial f}{\partial y}}$$ を消去し，積の微分公式を用いると

$$
\begin{align*}
\frac{df}{dx} & =y'\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)+\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\left(\frac{dy'}{dx}\right) \\
& =\frac{d}{dx}\left\{y'\cdot\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\right\}
\end{align*}
$$

すなわち

$$
\frac{d}{dx}\left\{f-y'\cdot\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\right\}=0
$$

となり

$$
f-y'\cdot\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)=C~~(定数)
$$

が導かれる．これをベルトラミの公式と呼ぶ．