オイラーの微分方程式

積分

$$
I=\int_a^bf(x,y,y'),dx
$$

が停留値をとるような関数 $${y=y(x)}$$ を求めることを考える．$${y(x)=y_0(x)+\varepsilon\cdot\delta(x)}$$，$${\delta(a)=\delta(b)=0}$$ とおく．$${\delta(x)}$$ は 関数 $${y_0(x)}$$ に対する変分を表す関数．
任意の $${\delta(x)}$$ について $${\varepsilon=0}$$ における積分 $${I}$$ の変化量が$${0}$$になる条件を求めればよく，この条件は

$$
\left.\frac{dI}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon=0}=0
$$

と表される．
$${\displaystyle\frac{dI}{d\varepsilon}}$$ は部分積分を用いて

$$
\begin{align*}
\frac{dI}{d\varepsilon}  & =\frac{d}{d\varepsilon}\int_a^bf(x,y,y')dx  \\
& =\int_a^b\left(\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial\varepsilon}+\frac{\partial f}{\partial y'}\frac{\partial y'}{\partial\varepsilon}\right)dx \\
& =\int_a^b\left(\frac{\partial f}{\partial y}\delta(x)+\frac{\partial f}{\partial y'}\delta'(x)\right)dx \\
& =\int_a^b\frac{\partial f}{\partial y}\delta(x),dx+\left[\frac{\partial f}{\partial y'}\delta(x)\right]_a^b-\int_a^b\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\delta(x)dx \\
& =\int_a^b\left\{\frac{\partial f}{\partial y}\delta(x)-\frac{d} {dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\delta(x)\right\}dx \\
& =\int_a^b\left\{\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}
{\partial y'}\right)\right\}\delta(x)dx . \\
\end{align*}
$$

となる．
これより，任意の $${\delta(x)}$$ について $${\displaystyle\left.\frac{dI}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon=0}=0}$$ が成り立つための条件は，

$$
\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)=0
$$

である．この式をオイラーの微分方程式という．