確率統計：分散、標準偏差、歪度、尖度

分散

確率変数$${x}$$の分散は以下の式で与えられる。
$${V[x]=E[(x-E[x])^2] = E[x^2 -2xE[x]+E^2[x]]=E[x^2]-E^2[x]}$$
これから、
$${V[c]=0}$$
$${V[x+c]=E[(x+c)^2]-E^2[(x+c)]]=E[x^2 + 2xc +c^2]-(E^2[x]+2cE[x]+c^2)=E[x^2]+2cE[x]+c^2-E^2[x]-2cE[x]-c^2=V[x]}$$
$${V[cx]=E[c^2x^2]-E^2[cx]=c^2E[x^2]-c^2E^2[x]=c^2V[x]}$$
となる。
分散は標準偏差$${\sigma}$$の二乗で$${V[x]=\sigma^2(x)}$$と表される。

歪度：skewness

確率分布の非対称性を示し、$${\displaystyle{\frac{E[(x-E[x])^3]}{\sigma^3(x)}}}$$で与えられる。

尖度：kurtosis

確率分布の尖具合で、$${\displaystyle{\frac{E[(x-E[x])^4]}{\sigma^4(x)}-3}}$$で与えられる。