「素数和分解」素数は分解できる

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事前知識
私は後から知りました。
「小さなゴールド・バッハ予想」と言うそうです。
素数は3つの素数和で表せるそうです。証明済みとか言ってました。

素数定義

「素数は、1 と自分自身のみで割り切れる数です。」

皆、当たり前のように知っていることです。

素因数分解でお世話になります。

素数和

だから、素数は分解不可能と思われています。
でも、素数和で分解可能で表現できます。

５＝３＋２
７＝３＋２＋２
１１＝７＋２＋２
１３＝１１＋２

２は？

２＝１＋１

３は？

３＝２＋１

１は素数じゃない！というツッコミは承知！

しかし、素数解析していると「１」は素数世界を作る創造主「単数」です。
「１」が居ないと、そもそも素数体系は構築不可能です。

よって、「１」は仲間はずれではなく、素数の神です。

素数の定義に新しい定義が加わります。（たぶん）

ま。実際、細かな検証してないけど、成り立ちます。（D予想）

「２」は 2 回使ってる！はい。ツッコミごもっとも…
どう、理由付けすればいいでしょうかね？
素数世界の唯一の遇素数だから？
２未満は１しかなくて、「１」１回のルール適用だと話が始まらないから？
「１」は創造主。参加するわけには行かないので「１」をコピーして「２」となった。これなら、唯一神としての「２」…は納得できる？

別の見方をすると、素数の基準単位は「２」で始まる。とも言える。
（pending: 書く気力があったら、素数闘技場の話を書く…✍）

素数闘技場の話を書いてて「１」は殿堂入りの覇者と成り、新たな闘技を開催して初めて素数闘技場として成り立つ。道筋があります。

※　以下の解説は「ゴールドバッハ予想」の証明へ繋がる話かもしれない。
素数剰余類
ある素数を素数積で割った剰余

素数は２N偶数と素数剰余類の和となる。素数剰余類の組み合わせで偶数となるならば、すべての素数のいずれかの和で偶数が作れる。

法６では、素数剰余類が１，５となり合わせれば６で偶数である。
法２は、０，１なので剰余数の和は１にしかならないが、
N mod 2 である為、素数剰余類が１、偶数は全て剰余類は０となる。
「２」のみ素数でありながら剰余類０で素数となる唯一無二な存在である。

さて、法３０の場合はどうだろう？
３０ｋ＋ｎでの素数剰余類
[1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29]
何かしらの素数は、上記の何れかである。この組み合わせを偶数とすれば偶数になる。

これもまだ証明されていないならば、こちらを先に証明すれば良い。
これは最新の最大素数４２００万桁の素数でも検証した。合っているであろう、D予想だ。最近見つかった巨大素数は、メルセンヌ素数であるので「１」となる。

残る証明は、ある偶数２N未満の素数の組み合わせで２Nにできるか？
であるが、法３０の枠組みの偶数が可能であるならば、無限に可能と成る。

全ての組み合わせは５５種、内３０以下の偶数は全て表現できる。
２７だけが組み合わせに無い。

剰余類

素数は剰余類で分類できます。

法 30 = 2*3*5 で見ます
（※この素数２，３，５は法３０の剰余類で唯一という特別な数です）

120 以下の素数を例に

[
 2, 3, 5,
 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,
 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59,
 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89,
 97, 101, 103, 107, 109, 113
]

法 30 による剰余類の分類結果です。３０ｋ＋ｎのｎで分類。

{
 2: [2],
 3: [3],
 5: [5],
 1: [31, 61]
 7: [7, 37, 67, 97],
 11: [11, 41, 71, 101],
 13: [13, 43, 73, 103],
 17: [17, 47, 107],
 19: [19, 79, 109],
 23: [23, 53, 83, 113],
 29: [29, 59, 89],
}

剰余類 n のリスト

[1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29]

ここで特別な３つ、（２，３，５）を抜きます。
なぜ？法３０の基数となっているからです。２＊３＊５＝３０

[1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29]

この８個が素数の分類される素数剰余類となります。

法 30 ＝2＊3＊5 は、素数積 P_k です。
素数の属する素数剰余類の数は、オイラーのトーシェント関数Φ（Ｎ）で求まります。が、素数剰余類の 総数-k でも求まります。
（たぶん。→1億までの素数では確認）

$$
P_k = \prod_{i=1}^{k} P_i
$$

法 210 = 2*3*5*7 = P_k = P_4 では 52 - k = 52 - 4 = 48
法 2310 = 2*3*5*7*11 = P_k = P_5 では 485 - k = 485 - 5 = 480
法 30030 = 2*3*5*7*11*13 = P_k = P_6 では 5766 - k = 5766 - 6 = 5760
法 510510 = 2*3*5*7*11*13*17
 = P_k = P_7 では 92167 - k = 92167 - 7 = 92160
法 9699690 = 2*3*5*7*11*13*17*19
 = P_k = P_8 では 1658888 - k = 1658888 - 8 = 1658880

Φ(210)=48
Φ(2310)=480
Φ(30030)=5760
Φ(510510)=92160
Φ(9699690)=1658880

と、素数積の基数に使った数 k だけ減らすと一致する
（原理は細かく調べてない…おぃ）

まあ、これは、どうでも良い説明となってしまってるかも…
剰余類 30k+n の +n に注目すると、法３０では全ての +n は素数である。

30k + n での素数の剰余類 [1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29]

※１は？のツッコミは、この原理より素数の仲間である可能性。

　素数定義：
　　素数は「１」または自身で割れる数。

「１」を素として認める記述。

因数分解が成立しないから「１」は絶対に考慮しない説もあるし、今後、語るであろう「素数闘技場」物語でも試合にならないので、仲間外れとはしないが、特別扱い。の、存在です。

素数は素数の長さの集まった単位

ここまでの説明では、何のことかさっぱりわからないでしょう。
（説明している私も何言ってるか分かってない）

結論から言うと、素数は自身 p 未満の素数の繋がった長さである。

素数でない合成数は、同じ素数 p のみの和で分解できる。
素数な数は未満の小さな異なる素数が積み重なった長さである。

剰余類との話の関係

1 = 1+0
2 = 1+1
3 = 2+1
5 = 3+2

(2, 3, 5) この積は 2*3*5 = 30 です。
(1+1) * (2+1) * (3+2) = 30

この３０で素数を割ると、余りが出ます。
その余りが

[1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29]

です。全部素数です。

ある数 N を３０で割ります。いずれかの余りが出ます。
メルセンヌ素数 $${ P = 2^p-1 }$$ は余りが全部「１」になります（たしか）

なので、メルセンヌ素数以外の素数を探したかったら「１」以外を探してください。

と、話がそれた。

３０で割るとは、つまり→ (1+1) * (2+1) * (3+2) で割っていることに変わりありません。

2*3*5 で割っている。
2*3 → 2+2+2
(2+2+2)*5 → (2+2+2)+(2+2+2)+(2+2+2)+(2+2+2)+(2+2+2)
全部２です。２が１５個で３０

それで割った余りが、剰余数＋ｎとなって
２の１５個の束、何個かで割って素数の＋ｎを足す。

それが全て素数…ではないのですが、素数ならば

$$
P = 2*n + R, R = 素数剰余類の余り
$$

となっているのです。

素数剰余類の余り R も 2*n で構成されており、最後に＋１されている。
あれ？これってただの奇数…。そして $${2^n}$$ って $${2^p}$$

ああ。メルセンヌ素数か。

素数和分解

素数は「２」が集まったもの（＋１）だけど、自身未満の大きな素数から並べて和とした場合、その素数は「２」の束グループが、いくつづつ集まって＋１されているか？そのまとまり数の並びは？、それで素数を分解する。

１９＝１７＋２　→　４個＋０個→（４，０）
１７＝１３＋３＋１　→　３個＋１個＝４個
１３＝１１＋２　→　３個＋０個＝３個
１１＝５＋３＋３　→　１個＋１個＋１個＝３個
５＝３＋２　→　１個＋０個＝１個
３＝２＋１　→　１個
２＝１＋１　→　０個（これは考慮しない？）

または、

１９＝１７＋２　→　６個＋１個＝７個　→　１９＝（６，１）
１７＝１３＋３＋１　→　５個＋１個＝６個
１３＝１１＋２　→　４個＋１個＝５個
１１＝５＋３＋３　→　２個＋１個＋１個＝４個
５＝３＋２　→　１個＋１個＝２個
３＝２＋１　→　１個
２　→　１個

２９＝２３＋５＋１　→　７個＋２個＝１１個　→　２９＝（７，２）
２３＝１９＋３＋１　→　６個＋１個＝７個

こちらのほうが分類しやすくなる？
＋１無視してカウントしてるから誤差が積み重なって逆算できないけど…。
なんか別でまとめておくか？

とりあえず、１億桁素数の賞金を得るには、
素数和で１億桁作って判定する。（あほ）

何度も使っては駄目な気もしてきた。
が、１１＝５＋３＋３だしなぁ。
１１＝５＋３＋２＋１で分解する？そういう法則なのか。

見つかった素数の長さを足していって…とか、
難しいことは考えないで作りたい場合は、

$$
P = 30k+R, R = 素数剰余類
$$

これだと、大きな素数では確率は低いだろう…

$$
P = P_k \cdot k + R
$$

$${k}$$ が大きければ大きく成長する。 $${R}$$ 素数剰余類の種類も増える。
※$${k > 3}$$ は剰余類の値が素数ではないものが含まれるが素数の合成数となっているはず。

$${+R}$$ した値が素数でなかった場合は、剰余類の対称関係により、対称となる反対側 $${+R_r, \space +R_l}$$ を足せば素数の確率は高いと思われ。

対称の中心は、

$$
C_k = P_k \cdot \frac{1}{2} \quad (C_k は必ず整数で割り切れ奇数となる。)
$$

最大周期 $${P_k}$$ 周期において素数が一個もない。
ということは、素数の無限拡張性定理により絶対に有り得ない。

書いてる内容が、めちゃくちゃだな…

とりあえず、発熱してきたので筆を置く…。🥵風邪か…？！
（検査してもらったけど、インフルでもコロナでもないらしい…😅）
（はい。緊急手術！入院しました！危うかった…病室からの更新）