算術の基本定理と素数
すべての整数は「素数」の積である
厳密にはそうは言い切れません。が、ここは視点を変えてみましょう。
普段の生活において数えたりお金の計算は整数を基準にして数える事が普通です。
$$
自然数 = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,\dots\}
$$
「１」ずつ増えていきます。
算数、数学で最初に身につける数の特性の一つですね。
目次
「０」ゼロは自然なの？
ちょっと寄り道です。
０は自然数か？
０が自然数かどうかは、数学の分野によって異なります。
集合論: 集合論では、自然数は通常、1から始まる正の整数の集合として定義されます。この定義では、０は自然数ではありません。
算術: 算術では、自然数は０を含む場合もあります。この定義では、０は自然数です。
どちらの定義が正しいか、明確な答えはありません。どちらの定義も広く使われており、どちらの定義も数学的に有効です。
どちらの定義を使うかは、状況によって異なります。例えば、プログラミングでは、０は通常自然数として扱われます。しかし、数学の論文では、０が自然数かどうかは明記されることが多いです。
結論として、０が自然数かどうかは、数学の分野によって異なります。どちらの定義も広く使われており、どちらの定義も数学的に有効です。
「算術の基本定理」とは？
算術の基本定理 - Fundamental Theorem of Arithmetic
算術の基本定理は、自然数（1 を除く）が素数の積として一意的に表せるという定理です。これは、数論における最も重要な定理の一つであり、様々な数学的証明やアルゴリズムの基礎となっています。
定理の内容:
1 より大きい任意の自然数は、素数の積として表すことができ、その表し方は順番を除いて一意である。
例:
$${2 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3}$$
$${20 = 2 \times 2 \times 5 = 2^2 \times 5}$$
$${100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5 = 2^2 \times 5^2}$$
証明:
算術の基本定理の証明は、数学的帰納法を用いて行われます。
基本ケース: 2 は素数なので、定理は成り立ちます。
帰納的ステップ: $${k}$$ より小さいすべての自然数に対して定理が成り立つと仮定します。$${k}$$ が素数の場合、定理は成り立ちます。$${k}$$ が素数でない場合、$${k}$$ は 1 より大きく $${k}$$ より小さい 2 つの自然数の積として表すことができます。帰納的仮説により、これらの 2 つの数は素数の積として表すことができるため、$${k}$$ も素数の積として表すことができます。
重要性:
算術の基本定理は、数論における様々な概念の基礎となっています。
素因数分解: 算術の基本定理は、自然数を素因数分解するための基礎となります。素因数分解は、暗号化やその他の数学的アルゴリズムにおいて重要な役割を果たします。
最大公約数と最小公倍数: 算術の基本定理は、最大公約数と最小公倍数を計算するための基礎となります。
合同式: 算術の基本定理は、合同式を理解するための基礎となります。
応用:
算術の基本定理は、様々な分野で応用されています。
暗号化: RSA暗号などの暗号化アルゴリズムは、算術の基本定理に基づいています。
コンピュータサイエンス: 算術の基本定理は、データ構造やアルゴリズムの設計において重要な役割を果たします。
数学: 算術の基本定理は、数論、代数学、幾何学などの様々な数学分野で応用されています。
まとめ:
算術の基本定理は、自然数の構造を理解するための重要な定理です。この定理は、数論における様々な概念の基礎となっており、様々な分野で応用されています。
（AI アシスタントより）
要するに…
「整数は素数で表せる」
（１は素数でない。１は表せない…！というのは、特別だからとの認識で）
これは、数学の天才オイラーも気づいたことです。
（これで、あなたもオイラーの思考🧠を手に入れた！）
素数とは？
素数 $${P}$$ は１または自身の数のみでしか割れない数ですね。
$${\gcd(1, P) = 1}$$
$$
P = \{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,\dots\}
$$
整数を見たら素数の集まりだ！
ある数字の並びを見たら「何かの素数で構成された数」として認識する。
整数は「素数」によって造られた数
素数は整数の中に時おり現れる「特別な数」として認識されています。
が、逆です！「整数は素数によって造られている」が真意です。
素数が造る担当整数
（※造る＝作る）
素数「２」だけで作れる整数は２と２の倍数です。
$$
P2 = \{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,\dots\}
$$
素数「３」は、３と３の倍数、
$$
P3=\{3,6,9,12,15,18,21,24,27,\dots\}
$$
３の倍数の中には２の倍数も含まれるので３が担当して作る整数は、
$$
P3=\{3,9,15,21,27,\dots\}
$$
と、なります。
素数「５」は、
$$
P5 = \{5, 25, 35, 55,\dots\}
$$
かなり、飛び飛びになってます。
これは、小さな素数により、後になる大きな素数は、担当する整数の数が極端に減ってしまうのが原因です。
５の倍数で５未満の素数で作られてしまう整数
$$
\begin{align*}
10 &= \bold{2} \times 5 \\
15 &= \bold{3} \times 5 \\
20 &= \bold{2} \times 10 \\
30 &= \bold{2} \times 15 \\
35 &= \bold{3} \times 7 \\
40 &= \bold{2} \times 20 \\
45 &= \bold{3} \times 15 \\
\dots
\end{align*}
$$
ここから見えてくる法則
ヒントは $${25 = \bold{5}^2}$$ と $${5 \times 7 = 35}$$ です。
始まりの基準は自身の数 $${p}$$ と自身の二乗 $${p^2 = }$$ 平方数です。
そして自身 $${p_i}$$ より後の素数 $${P_{(i+n)}}$$ の積という並びの構図があります。
$$
Pn = \{p, p^2, p_i \times p_{(i+1)}, p_i \times p_{(i+2)}, \dots\}
$$
🙎私D.:
💭そうか、素数世界の自然数列はこれか…。
対数関数的に減る素数の数
整数 $${x}$$ の中に含まれる素数の数は以下の式で近似的に求まる事がわかっています。
$$
\pi(x) \approx \frac{x}{\log x} \\
$$
$$
例: x = 10^9 = 1,000,000,000 \space 以下の素数の予想数は、\\
π(1000000000) ≒ 48,254,942.4337… \\
実際の素数の数: 50,847,534 \space (誤差:5.0988\%)
$$
この対数的に減っていく様子は、上記の担当整数の例から想像できたかと思います。
※以下は未解決問題（私のね）
素数の作る整数の限界（境界領域）
実は、ここからが本題です。
素数の積
素数の積と聞いてオイラーの積を思い浮かべた人も居るでしょうが、
ここは単純に素数の有限積を扱います。
$$
P_k = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_n
$$
素数列 $${P}$$ の小さな素数からの積です。
素数判定
素数判定において整数 $${N}$$ は $${\sqrt{N}}$$ 以下の素数で割って判定します。つまり、整数 $${N}$$ は正方形の面積として考え、一辺の長さ$${p}$$ で割り切れる正方形または長方形か？を調べているわけです。
素数積を正方形として展開する
素数積 $${P_k^2}$$ として正方形を作ります。
$$
P_2 = 2 \times 3 = 6 \to 6^2 = 36 \to 36 = 2^2 \times 3^2
$$
$$
P_3 = 2 \times 3 \times 5 = 30 \to 30^2 = 900 \to 900 = 2^2 \times 3^2 \times 5^2
$$
一辺が素数積で、その正方形の面積を因数分解すれば、
当然、素数積の基数となった素数の二乗積となるのは必然ですね。
$$
P_k^2 = (p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_n)^2=p_1^2 \cdot p_2^2 \cdot p_3^2 \dots p_n^2
$$
$$
素数積^2 = (因数, \dots)^2
$$
素数判定その２
任意の整数 $${N}$$ が素数であるか？を、考える時 $${N}$$ を面積 $${S}$$ として考え、$${\sqrt{S}}$$ としてその商＝一辺の整数＝素因数郡と捉え、その$${素因数 \times q}$$で面積 $${S}$$ が求まらなければ $${S}$$ は素数です。
つまり、面積 $${N = S}$$ の成す矩形の一辺を素因数 $${p}$$ で固定し、もう一辺を整数 $${q}$$ で表せないのが素数。表せるのが合成数＝$${p}$$ で作れる整数となります。
素数積にちょっと大きい +1 を足した平方数 -1
$${S = (P_k + 1)^2 -1}$$ という式を考えました。いや、見つけました。
どこで？
$$
P_k, k = 3, P_k = 2 \times 3 \times 5 = 30, \\
(30 + 1)^2 - 1 = 961 - 1 = 960 = 30 \times 32, \\
S = (P_k + 1)^2 -1
$$
この $${S = 960 = 2 \times 3 \times 5 \times 2^5}$$ です。
$${S = 961}$$ とすると $${31^2}$$ となって $${P_k = 30}$$ を超えます。
つまり、$${P_k}$$ の因子 $${(2, 3, 5)}$$ と倍数 $${q}$$ を使って作れない整数です。
この境界線より先の整数は、因子と倍数 $${q}$$ で作れなくなる。
という境界線が存在します。
この問題は素数判定において、ある周期性を利用した新しい判定法を試している時に、判定抜けした擬素数の出現により発覚。
※現在は周期性の拡張概念の導入により１００％素数判定に成功している。
一旦、まとめ？の考察
素数が順番に作れる整数には上限が存在する？
$${S = (P_k + 1)^2 -1}$$ は、素数積 $${P_k}$$ の因子とその倍数 $${q}$$ で作れる整数の最大値を与える。※ $${q}$$ は $${S}$$ 以下の素数となることがある。→矩形のもう片方の一辺の長さだから（？）
任意の積 $${+1}$$ が素数 $${Q_k + 1 = P}$$ ならば成り立つ可能性？ダメそう？
$${Q_k = 2 \times 5 = 10 \to 10 + 1 = 11 \to 11^2 = 121 \to 121 - 1 = 120}$$
$${120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5}$$ ←３が出てくる（？）
$${Q_k = 2^2 \times 3 = 12 \to 12 + 1 = 13 \to 13^2 = 169 \to 169 - 1 = 168}$$
$${168 = 2^3 \cdot 3 \cdot 7}$$ ←７が出てくる（？）$${P_k, Q_k}$$ のトーシェント関数 $${\varphi(N)}$$ の因子も含めて見る必要がありそう。
$$
\varphi(P_k|Q_k) \to \{p_1, p_2, \dots, p_n\} + (P_k|O_k ∈ \{p_m|q_m\})
$$
$$
P_k, k = 3 \to P_3 = 2\times3\times5 = 30, \\
P_s = \varphi(30) = 8 \to \{1,7,11,13,17,19,23,29\} +(P_k ∈ \{2, 3, 5\}), \\
P_s = \{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29\} \space ※ 1 は素数でないので除外
$$
これならば、
$$
S = (30 + 1)^2 -1 = 960
$$
までの整数をすべて表現できる。とは…ならない…。な。
結局 $${p^2}$$ 平方数が $${S}$$ 以下に含まれている以上、
$${p^2}$$ 平方数 $${-1}$$ までの閉じた世界で、
細かく厳密に観測する必要がある。
もっと一般化するなら
$${q^2}$$ 平方数 $${-1}$$ までの閉じた世界
というのを突き止める必要がある。
合同算術
フェルマーの小定理やオイラーの定理の合同算術においての剰余１
$$
a^{p-1} \equiv 1 \pmod p
$$
$$
a^\varphi(n) \equiv 1 \pmod n
$$
この、剰余≡１と平方数 -1 の「１」との関連性や
整数と素数の「差」のようなものを観測する必要がある。
何かが見えそうで見えなかった…。
余談
結局何が言いたかったのか？
整数は素数によって造られた二次副産物で素数という単位が世界の基準単位として乱立しているが、規則性を持って乱立している。その規則性を明確化するための糸口としての現象を探っている。これが解ってしまえば素数の探索は劇的になる。が、そうはいかないから素数に関する未解決問題が多い。
でも。現実は「単数」が基準で、単数しかない世界で始まり、単数が連なって素数単位となり、素数単位が周期を作り、その周期が重なり、二重振り子の現象でカオスを生み、多様性とシンギュラリティを作り世界が造られる。
という理論物理学を構築したくて素数の真相を知ろうとしている。
素粒子は現在、約１７種。
その素粒子を構成する原始素粒子の存在を示唆している。
その原始素粒子はただ唯一「単数」エネルギー体となる。
それは、空間と対になった「渦」としてこの宇宙に広がる。
答えのない終わりでごめんなさい。
思考の過程を楽しんでください。
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