【数学】3次元多様体としての宇宙

1.概要

　本記事では、数学、特に幾何学の世界から見た宇宙空間について、数式を用いずに語る。
　宇宙の形状を数学的に記述する際に、3次元多様体という概念が重要な役割を果たす。3次元多様体というのは、局所的には3次元ユークリッド空間に似ているが、大域的には異なる形状や位相を持つ空間のことである。地球表面が局所的には平べったい平面に見えるが、全体としては球形であるのと同様に、宇宙も局所的には平べったい空間に見えるものの、大域的には特有の形状を持つ可能性がある。
　さて、宇宙を3次元多様体として捉える考え方は、現代の宇宙論や数学的モデルにおいて一般的である。空間の縦、横、高さという3次元を扱うことで、宇宙全体の構造を分析することが可能となる。このアプローチは、宇宙の大規模な構造やその全体的な形状を理解するための基盤となるものであり、現代物理学の重要な課題のひとつとなっている。

2.一般相対性理論と宇宙の曲率

　一般相対性理論によれば、宇宙は時間を含む4次元の時空としてモデル化される。この4次元時空の中で、特定の瞬間の空間的な断面を取り出して考えると、それが3次元の宇宙に対応する。したがって、宇宙は3次元多様体として記述されることになる。
　宇宙の形状を理解するためには、その曲率が重要である。曲率は、宇宙がどのように湾曲しているかを示す指標であり、平坦、正の曲率、負の曲率のいずれかを持つ可能性がある。平坦な宇宙では、空間が無限に広がり、ユークリッド空間に似た性質を持つ。一方で、正の曲率を持つ宇宙では、空間全体が球面のように閉じた形状を持ち、有限の体積を持つが境界は存在しない。また、負の曲率を持つ宇宙では、空間が双曲的な幾何学を持ち、無限に広がるが独特な構造を示す。
　現代の観測データは、宇宙が非常に平坦である、つまり、宇宙の曲率はゼロに非常に近いとされる。ただし、この結果が宇宙の大域的な形状を完全に決定するものではなく、閉じた宇宙や双曲的な宇宙の可能性を排除するものではない。宇宙の形状に関する議論は、理論と観測の双方において依然として活発である。

3.宇宙の大域的構造と未解決の謎

　宇宙が3次元多様体であると仮定した場合における、その大域的な形状や位相構造についての理解は、未だ完全には得られていないようだ。宇宙全体が閉じた有限の形状を持つのか、それとも無限に広がるのかという問いは、宇宙論の根本的な問題のひとつである。観測可能な宇宙は有限であり、その範囲外に何が広がっているのかについては、現在の理論や観測では確定的な答えが得られていない。
　もし宇宙が有限で閉じた構造を持つならば、3次元球体やトーラスのような位相を持つ可能性がある。この場合、光が宇宙を循環し、同じ天体の像が異なる位置に観測されることが理論的には可能である。一方で、宇宙が無限に広がる場合、空間は平坦なユークリッド空間や双曲的な形状を持つことになる。このような宇宙では、周期的な繰り返しや境界のない無限の広がりが特徴となる。
　また、宇宙の大域的な形状を理解するには、観測可能な範囲が限られているという現実が課題となる。観測可能な宇宙はビッグバン以来の有限の時間内で届いた光の範囲に限られるため、それを超える領域がどのような性質を持つのかは直接的には観測できない。この制約は、理論的なモデルに基づいて宇宙の全体像を推測する必要性を示している。
　宇宙が3次元多様体であるという仮定は、現代の宇宙論や数学的モデルにおいて重要な役割を果たしている。しかし、その正確な形状や位相構造についての理解には、さらなる観測と理論の進展が必要である。宇宙の形状に関する問いは、我々が住む空間の真理を追究する上で、重要な問題であり続けるはずだ。