副露者の聴牌率を数学的に考察する
こんにちは、天鳳位の小江戸緑です。
今回のnoteでは、副露者の聴牌確率を数学的に考察します。
先に、本記事を読むことで得られる知見の一部をまとめます。
① 副露者の下家または対面が無筋を通した場合、副露者の聴牌率は低下する（ただし、次に切る無筋の危険度は増加する）
② 副露者の上家が無筋を通してチーされなかった場合、副露者の聴牌率は増加する
②については体感的に理解できるプレイヤーも多いと思いますが、①についてはピンと来ない方も多いのではないでしょうか。
以下では、具体的な牌図および数字を用いて、この事実を数学的に解説します。
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副露者の聴牌率を見積もる重要性
実戦において、副露者の聴牌率を見積もる作業は重要です。
聴牌していることが確実なリーチ者に対しては、自身が切りたい牌の放銃率は、その牌の危険度そのものに等しくなります。
一方で、副露者は聴牌しているかが不確定です。
そのため、副露者に対する放銃率は「聴牌率 × 切る牌の危険度」として見積もる必要があります。
聴牌率が極めて低く見積もれる状況であれば、先に危険牌を処理するという選択も可能になるでしょう。
このように、副露者への押し引きを判断するためには、聴牌率の推定は欠かせません。
以下では、副露者の聴牌率を数学的に考察します。
実際の局面で考えてみよう
以下の局面を考えます。
上家はドラの北をポンして打2sとしています。いま、手出しで6sが打たれました。
副露者の河を見ると、中張牌も多く切られており、聴牌していることも十分にありそうです。
諸説あるとは思いますが、ここでは聴牌率を50%と見積もりましょう。
以下の議論では簡単のため、副露者が聴牌している場合には、6sよりも前に切られている数牌の跨ぎ筋では放銃しないと仮定します。
すなわち、副露者の残り筋は「4-7m, 5-8m, 4-7p, 5-8p, 4-7s, 5-8s」の6筋であり、副露者が聴牌している場合にはこのいずれかの筋で放銃するものとします。
また、これらの無筋の危険度に差はないと仮定します。
さてその直後の自家手番、上家に通っていない5mを持ってきました。
満貫確定の上家に放銃はしたくないものの、自身も親番の勝負手であり、簡単にはやめたくない手ですね。まっすぐ行くなら、5mをツモ切るのが良さそうです。
ここで、5mの放銃率を概算してみましょう。
上家の聴牌率は50%（1/2）と見積もっており、残り筋は6筋です。5mはそのうちの1筋に該当します。
したがって、5mの放銃率は 1/2 × 1/6 で、ざっくり1/12（= 8.3%）と概算できます（実際には愚形待ちや今回除外している跨ぎ牌も放銃可能性があるので、これより低くなると考えられます）。
放銃率が8.3%であれば見合っていると判断し、5mをプッシュしました。
無事に5mは通過し、その次順、今度は通っていない7sを持ってきました。
副露者はツモ切りであり、この1巡の間に他家が新たに危険牌を通したといった新規の情報はありません。
7sを押すかどうか考えるため、先ほどと同様に、7sの放銃率を概算してみましょう。
先ほど5mを通したことにより、残り筋は5筋となっています。
したがって、7sの放銃率は 1/2 × 1/5 = 1/10（= 10%）と概算できそうです。
・・・が、実はこれは間違っています。
なぜならば、上家の聴牌率はもう50%とは見積もれないのです。
「そうなの？」と疑問に思った方も多いと思います。
より極端なケースとして、以下の局面まで巡目を進めましょう。
画像⑤の局面は、先ほどの画像④で7sをプッシュした3巡後になります。この間、副露者はツモ切りを続けており、その河に大きな情報はありません。
一方で、下家が副露者に対して4m, 4p, 8pとプッシュしています。
これにより、副露者が聴牌しているなら、残り筋は5-8sの1筋のみになっています。
5sを切りますか？
副露者の聴牌率および5sの放銃率はいくらでしょうか？
もしも副露者の聴牌率が依然50%なら、今回の仮定のもとでは、5sの放銃率は 1/2 × 1 = 1/2 (= 50%) ということになります。
もちろん実際には異なりますが、とはいえ放銃率がかなり高い事実には変わりないでしょう。
しかし、実戦では5sを切ってリーチするプレイヤーが多いのではないでしょうか？
この程度に極端なケースになれば、副露者の聴牌率がもはや50%ではないことが体感的に理解できるプレイヤーも多いかもしれません。
結論から述べると、この時点での副露者の聴牌率は計算上 25%まで低下しています。聴牌している場合に残り筋が1筋なのは変わらないので、5sの放銃率は、今回の仮定のもとでは25%になります。
（これは種々の仮定の元で計算された値であり、あくまでも目安値です）
聴牌しているか分からない副露者に対して、副露者がチーできない下家・対面が無筋を通した場合、それが通過するごとに副露者の聴牌率は低下するのです。
以下では副露者の聴牌率を実際に計算してみます。
ベイズの定理で副露者の聴牌率を計算
副露者の下家・対面が無筋を通した場合
実際に副露者の聴牌率の変化を計算するため、以下の画像①と画像③を比較します。
すなわち、無筋の5mを通したことにより、副露者の聴牌率が50%からどのように変化したのかを計算します。
刻一刻と変化する副露者の聴牌率を計算するには、ベイズの定理と呼ばれる統計学における重要公式が役に立ちます。
ベイズの定理に関する説明は、検索すれば多くの参考になるwebページが見つかりますが、ここでは今回の麻雀の例で直接説明します。
ベイズの定理とは、以下の公式を指します。
$${P(X | Y) = \frac{P(X)P(Y|X)}{P(Y)}}$$
$${P(X)}$$とは、事象$${X}$$の確率を意味します。
今回興味のある事象$${X}$$は、「副露者が聴牌している」になります。副露者が聴牌している事象を$${X=1}$$で、副露者が聴牌していない事象を$${X=0}$$で表すとします。
$${P(X|Y)}$$は、事象$${Y}$$が起きたという条件付きの事象$${X}$$の確率になります。言い換えれば、事象$${Y}$$が起きたというデータが得られた後の事象$${X}$$の確率、ということになります。
今回の事象$${Y}$$は、「自家が危険牌（5m）を切った条件において、副露者からロン・ポン・チーのいずれかの声がかかる」事象と定義します。どの声も掛からない事象を$${Y=0}$$で、いずれかの声が掛かる事象を$${Y=1}$$で表すとします。
ベイズの定理を、今回考えたい事象に合わせて書き換えます。
$${P(X=1 | Y=0) = \frac{P(X=1)・P(Y=0|X=1)}{P(Y=0)}}$$
各項の値を順に確認していきます。
左辺$${P(X=1 | Y=0)}$$は、今回求めたい、「5mが通過した直後の副露者の聴牌率」です。
右辺分子の$${P(X=1)}$$は、「当初の副露者の聴牌率」なので、1/2（= 50%）です。
右辺分子の$${P(Y=0|X=1)}$$は、「副露者が聴牌しているという条件のもとで副露者から声がかからない確率」です。聴牌している条件のもとで掛かる声はロンだけであると考えると、残り筋が6筋ある中で1筋分の5mを切ってロンされない確率なので、副露者が両面待ちであるという今回の仮定のもとでは、これは5/6です。
右辺分母の$${P(Y=0)}$$については、「5mに副露者から声が掛からない全確率」を指します。全確率というと直観的な表現ではありませんが、つまり5mに声が掛からない確率を、副露者が聴牌しているケースと聴牌していないケースの両方を考えて算出する必要があるということです。
$${P(Y=0)}$$は、以下のように分解できます。
$${P(Y=0) = P(Y=0 | X=1)・P(X=1) + P(Y=0 | X=0)・P(X=0)}$$
$${P(Y=0 | X=1)}$$は、「副露者が聴牌している場合に5mに声が掛からない確率」であり、これはロンの声だけを考えればよいので、5/6です。
$${P(X=1)}$$は、「当初の副露者の聴牌率」なので、1/2です。
$${P(X=0)}$$は、「当初の副露者のノーテン率」なので、1 - 1/2 = 1/2です。
$${P(Y=0 | X=0)}$$は、「副露者が聴牌していない場合に5mにロン・ポン・チーのいずれの声も掛からない確率」です。聴牌していないならロンの声が掛かることはあり得ませんし、座順的にチーの声が掛かることもありません。したがってここではポンの声が掛かる確率だけを考えれば良いです。
ザックリですが、副露者が一向聴以下の条件において、有効なポン材を持っていない確率を1/2、持っている確率を1/2とします。ポン材を持っている場合には、その候補は現状、5m, 6m, 7m, 5p, 6p, 1s, 4s, 5s, 7s, 8sあたりです（7pは自家が暗刻のため除外しました）。一向聴でポン材を保有している場合には、これら10種のうちの2種を保有していると考えられます。ポン材は持っているが5mがポン材ではない確率は、10種から2種選んだ際に5mが含まれない確率なので、$${\frac{{}_{9}C_{2}}{{}_{10}C_{2}} = \frac{8}{10}}$$です。したがって、副露者が聴牌していない条件において切った牌（5m）にポンの声が掛からない確率は、
$${P(Y=0 | X=0) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}・\frac{8}{10} = \frac{9}{10}}$$
となります。
これらを代入することにより、5mが通過した直後の副露者の聴牌率は
$${P(X=1 | Y=0) = \frac{\frac{1}{2}・\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}・\frac{1}{2} + \frac{9}{10}・\frac{1}{2}} = \frac{75}{156} = 0.4808}$$
よって、5mが通過した画像②の直後では、副露者の聴牌率は当初の50%から48.08%まで低下することが分かります。
次の巡目に、7sをプッシュした直後の状況を考えます。
7sが通過した画像④の直後の副露者の聴牌率は、$${P(X=1)}$$を 1/2 から 0.4808 に更新し、残り筋が6本から5本に減少、ポン材候補数も5mが否定されたことで10個から9個に減少していることに注意して、上記と同様の計算を行うことで求めることができ、その値は
$${P(X=1 | Y=0) = \frac{P(X=1)・P(Y=0|X=1)}{P(Y=0)}}$$
$${ = \frac{P(X=1)・P(Y=0|X=1)}{P(Y=0 | X=1)・P(X=1) + P(Y=0 | X=0)・P(X=0)}}$$
$${ = \frac{0.4808・\frac{4}{5}}{\frac{4}{5}・0.4808 + (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}・\frac{7}{9})・(1-0.4808)}}$$
$${ = 0.4546}$$
よって、7sが通過した時点での上家の聴牌率は45.46%となります。
同様に計算を進めていくと、残り筋が5-8sの1本まで減った以下の局面では、副露者の聴牌率は25%となります。
残り筋が6本あり、聴牌率を50%と見積もった初めの状態から、残り筋が1本になるまでの、副露者の聴牌率・残り筋数・切る牌の放銃率の推移をまとめると、以下のようになります。
切る牌の放銃率については、聴牌率 × 切る牌の危険度、すなわち1筋分の無筋を通していく今回のケースでは、聴牌率 / 残り筋数とすることで求めています。
副露者の聴牌率は無筋が通過するたびに明確に低下していきますが、切る牌の危険度は上昇しています。
聴牌率が低下することよりも、残り筋数が減る影響が大きく出ているということですね。別の解釈をすれば、聴牌率が低下する影響により放銃率の上昇が比較的緩やかに抑えられているという見方もできるでしょう。
副露者の上家が合わせ打ちした場合
無筋が通るたびに副露者の聴牌率が低下すると述べましたが、これは無筋を切るのが副露者の下家・対面に限られる場合です。
副露者の上家が切る場合には、副露者がチーできる可能性を含むため、話が変わってきます。
以下では、まず副露者の上家が合わせ打ちをし、それがチーされなかった場合に、副露者の聴牌率がどう変動するかを調べます。
以下の局面は、自家が残り筋6本のうちの1本である5mを通し、対面がそれを合わせたケースです。対面の5mはチーされなかったとします。
同様にベイズの定理に基づいて計算します。
$${P(X=1 | Y=0) = \frac{P(X=1)・P(Y=0|X=1)}{P(Y=0)}}$$
$${ = \frac{P(X=1)・P(Y=0|X=1)}{P(Y=0 | X=1)・P(X=1) + P(Y=0 | X=0)・P(X=0)}}$$
先ほどと同様、「副露者が聴牌している事象」を$${X}$$（$${X=1}$$：聴牌, $${X=0}$$：ノーテン）、「対面の切った牌にロン・ポン・チーのいずれかの声がかかる事象」を$${Y}$$（$${Y=1}$$：声が掛かる, $${Y=0}$$：声が掛からない）とします。
分子の$${P(X=1)}$$については、先の議論から、いま自家が5mを通した直後の副露者の聴牌率となり、$${P(X=1) = 0.4808}$$です。
分子の$${P(Y=0|X=1)}$$については、「副露者が聴牌している条件において声が掛からない確率」です。いまロンは起こり得ず、聴牌しているならポンやチーをすることもないと考え、$${P(Y=0|X=1) = 1}$$です。
分母の$${P(Y=0|X=0)}$$については、「副露者が聴牌していない条件において声が掛からない確率」であり、いま自家が切った5mにポンの声が掛からなかったことから、対面の切った5mにポンの声が掛かることはないと考えます。すると、これはチーの声がかからない確率を求めればよいことになります。
いま、副露者は聴牌でないなら一向聴であると仮定しましょう。さらに、その場合の受け入れは純粋な両面両面であり、6677mのような二度受けの形はないと仮定します。
この場合、受け入れとして想定される残り筋は、6筋の中の2筋であるため、チーの声がかからない確率は$${P(Y=0|X=0) = 4/6}$$です。
分母の$${P(X=0)}$$については、「副露者が聴牌していない確率」であり、$${P(X=0) = 1-P(X=1) = 1-0.4808}$$です。
これらを代入して、
$${P(X=1 | Y=0) = \frac{0.4808・1}{1・0.4808+\frac{4}{6}・(1-0.4808)} = 0.5814}$$
となります。
結果として、副露者の聴牌率は当初の50%から、自家が5mを通したことで48.1%まで低下し、さらに副露者の上家が切った5mがチーされなかったことで、副露者の聴牌率は58.1%まで上昇しました。
いくつかの仮定を敷いてはいるものの、通っている牌をチーしなかっただけで、副露者の聴牌率は10%上昇するということですね。
副露者の上家が無筋を切った場合
次に副露者の上家が無筋を切った場合を考えます。
たとえば以下のような局面です。
7mがロンもポンもチーもされなかった直後の副露者の聴牌率はどのようになるでしょうか。
ベイズの定理に則って計算します。
$${P(X=1 | Y=0) = \frac{P(X=1)・P(Y=0|X=1)}{P(Y=0)}}$$
$${ = \frac{P(X=1)・P(Y=0|X=1)}{P(Y=0 | X=1)・P(X=1) + P(Y=0 | X=0)・P(X=0)}}$$
分子の$${P(Y=0|X=1)}$$、すなわち「副露者が聴牌している条件において声がかからない確率」は、ロンの声がかかる確率のみを考えればよく、自家が5mを通していることから残り筋は5筋になっており、$${P(Y=0|X=1) = \frac{4}{5}}$$です。
分母の$${P(Y=0|X=0)}$$、すなわち「副露者が聴牌していない条件において7mに声がかからない確率」は、ポンとチーの両方を考える必要があります。
ポンについては、ポン材候補が6m, 7m, 5p, 6p, 1s, 4s, 5s, 7s, 8sの9種であると考えると、ポンの声が掛からない確率は7/9です。
チーについては、5mは依然チーされる可能性があることに注意すると、副露者の受け入れ候補としての残り筋は6筋なので、チーの声が掛からない確率は4/6です。
ポンとチーは独立の事象であると考え、それらがともに起こらない確率は、
$${P(Y=0|X=0) = \frac{7}{9}・\frac{4}{6} = \frac{14}{27}}$$です。
これらを代入して、
$${P(X=1 | Y=0) = \frac{0.4808・\frac{4}{5}}{\frac{4}{5}・0.4808+\frac{14}{27}・（1-0.4808）} = 0.5883}$$
となります。
結果として、副露者の聴牌率は当初の50%から、自家が5mを通したことで48.1%まで低下し、さらに副露者の上家が切った無筋である7mがロン・ポン・チーいずれもされなかったことで、副露者の聴牌率は58.8%まで上昇しました。
この数値は、「新たに無筋を切ってロンされない」要素が聴牌率を低下させる方向に働く一方で、「新たに無筋を切ってポンもチーもされない」要素が聴牌率を上昇させる方向に働いた結果と考えられます。
今回、最終的な聴牌率の見積もり値は、合わせうちをした時と比べて大きくなりましたが、これは残り筋やポン材候補数などの各数値設定により変化すると考えられます。
副露者自身が無筋を切った場合
副露者自身が無筋を切った場合も、聴牌率は上昇すると考えられます。
ただし、これを定式化するのは難しいのでここでは省略します。
たとえば、副露者が67mと持っているところにツモ7mの場合、7mを先切るかフォロー牌として持つかの分岐が存在し、後者の場合には6s周りは安全と考えられるなど、場合分けが煩雑になるためです。
副露者が新たな情報を河に開示した場合には、本記事の初めに副露者の聴牌率を50%と見積もったように、打ち手の感覚に従って聴牌率の見積もりをし直すのが良いでしょう。
まとめ
今回分かったことをまとめます。
条件：副露者が、残り筋に含まれる牌を切ることなくツモ切りを続けている、すなわち新たな情報を開示せずツモ切りを続けている間において……
① 副露者の下家または対面が無筋を通した場合には、副露者の聴牌率は低下する。一方で、無筋を通すことで残り筋が減るため、次に切る牌の危険度は上昇する。
② 副露者の上家が先ほどまで無筋だった牌を合わせ打ちし、チーされなかった場合、副露者の聴牌率は上昇する。
③ 副露者の上家が通っていない無筋を切り、ロンもチーもされなかった場合、副露者の聴牌率は上昇する。
特に①については、新しい発見だったのではないでしょうか。
副露者に対して切る無筋の危険度が徐々に増加することには違いありませんが、無筋が通るほど副露者の聴牌率が低下するため、切る牌の危険度の上昇幅は比較的緩やかになっているとも考えられます。
この事実を理解していなければ、
上記の局面で、副露者の聴牌率を、副露者打6s時点で見積もった数値から更新できないかもしれません。
その場合、唯一の残り筋の5-8sの危険度は相当高くなり、とても切れる牌ではありません。
しかし実際には、上家の放銃率はいくらか低下しており、親番でこの手なら5sはある程度見合う牌になっています（今回は画像⑤時点での副露者の聴牌率および5sの放銃率は25%と計算されました。実際には愚形待ちなどの可能性も考えられるため、放銃率 < 聴牌率のはずであり、聴牌率25%を一旦真とした場合の放銃率は25%より低いでしょう）
いかがでしたでしょうか。
今回は初期の聴牌率を50%と見積もり、実際に計算を行いました。
計算においては麻雀における種々の仮定を敷きましたが、実戦ではこのような仮定が成り立たないことも多々あるでしょう。
実際、このような計算を実践で行うことはありません。天鳳位の私もしていません。
しかしそれでも、このような計算結果を知っておき、数値感を把握しておくことは、麻雀の勘を磨く上で重要であると私は考えています。
今回求めた各種数値が、自身の体感と合っているか、合っていないか、もし乖離があるならばどこに原因がありそうかを考えることは、麻雀に対する理解を深める重要なプロセスになるでしょう。
ちなみに私の体感では、画像①（副露者打6s時点）での聴牌率は50〜60%くらい、画像⑤（残り筋1本で自身5s切れば聴牌時点）での聴牌率は20〜30%くらいですかね。
画像⑤時点での推定聴牌率は25%と求まったので、ある程度体感通りの数字が出てきて驚きました。
今回計算された数値は、みなさんの体感と比較してどうだったでしょうか？
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