算数から数学へ 0-1 自然数(偶数と奇数の計算)

偶数と奇数の四則県産の結果を一般化できるか

　議論(ぎろん)をはじめる前に　確認(かくにん)をしたいことがあります．　四則計算(しそくけいさん)のときに使う， 等号(とうごう)についての確認(かくにん)をしておきます．
　　　　　　　等号 　　＝　　　　　　例　3 ＋ 8 ＝ 11
　　　　　    不等号　　 ≠　 　　　　　例　3 ＋ 8 ≠ 10
これを確認したうえで， 考えてください．
 
　　　　　　　 3 ＋ 8 ― 2 ＝ 11 ― 2
解(わか)りますね．
　
実(じつ)は　似(に)た話を経験(けいけん)しました．　小学生の低学年の児童(じどう)に 天秤(てんびん)の話をして 等号の左から 2の重りを除(のぞ)いたら　右からも 2の重りを除かないといけないよね．　その子は信じられないと 思ったようです．　そのことから 幼児期(ようじき)において 「ごっこ遊びで 天秤のような玩具(がんぐ)が使(つか)われなくなっているのかの知れないと考えましたが， そうではないようですね．　実社会(じっしゃかい)では 天秤のような秤(はかり)を使った「お店屋さんごっこ」はありえないのでしょうか？　わたしは 幼児期の遊びには それぞれ大切(たいせつ)な意味(いみ)があると考えます．　

※   たとえば　p ＋ 2 ＝ q なる等式において， 左辺から 2 をひくとき　
　　　　　　　p ＋ 2 ― 2 ＝ q ― 2
　　　　　　　p ＝ q ― 2
これで　移項すると ― になることを示せますね．
                                                                    ＜ 移項すると － になる　疑問＞

注意　これから 文字式がでてきます．　解らなかったら，　お父さんやお母さんに助(たす)け舟(ふね)をだしてもらってください．

偶数と奇数の計算

前提

　
偶数は 2 の倍数の自然数．奇数は　偶数 ＋ 1 の自然数．

ある偶数を n と n’ ただし n > n’ . ある奇数を m と m’ おなじく　m > m’ とします．　n と m には　m ＝ n ± 1 ・・・　①　の関係があります． (± は ＋ または －)

１． 加法

　　
　　　ｎ ＋ n’ ＝ 2p ＋ 2p’ ＝ 2( p ＋ p’) ・・　　偶数　  
　            P と p’ は p > p’ な ある数です．
 
            n ＋ m ＝ n ＋ ( n ＋ 1 ) ＝ 2 n ＋ 1 ・・　奇数
                ① を代入(だいにゅう)
 
　　　m ＋ m’ ＝ ( n ± 1 ) + ( n’ ± 1 ) ＝　( n ＋ n’ ) ± 2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・　偶数

２． 減法

　　
　　　n ―　n’ ＝ 2 ( p ― p’ ) ・・・　　偶数
 
　　   n > m であるとき
　　   n ― m ＝ n ― ( n’ ±　1 ) ＝　( n ― n’ ) ∓ 1 )  ☚ 1)
　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　・・　奇数

　　   m > n で m ― n のばあいは 省略(しょうりゃく)します

※   1) 整数(せいすう)のところで出てきますが，
　　　　(＋ 1) × (＋ 1) ＝ ＋ 1
             (＋ 1) × ( ― 1) ＝　―　1
             ( ― 1) ×　( ― 1) ＝　＋ 1 という ルール があります．
 
　　 m ― m’ ＝ ( n ± 1 ) ―　( n’ ± 1 ) ＝ ( n ― n’ ) ・・　偶数
 
 

３． 乗法

         n × n’ ＝ 2p × 2p’ ＝ 4 p × p’ ・・・　偶数
 
         n × m ＝ n × ( n ± 1 ) ＝　n × n ± n ・・・　偶数

         m ＝ n ± 1 でも m’ ＝ n’ ± 1 でも 結果(けっか)はおなじですね
　　　　　　　
　　m × m’ ＝ ( n ± 1 )　× ( n’ ± 1) 2)          ☚ 2)
                    ＝　n × n’ ± ( n ＋ n’ ) ＋ 1 ・・・　奇数

※   2) 低学年の子には 文字式のかけ算は　解らないよね．　しばらくの間，　頭の中にある 押し入れへしまっておこう．　もし 積(つ)み算でかけ算ができたら，挑戦(ちょうせん)してください．　　
 
 

４． 除法

　
　わり算は　わられる数 a を わる数 b とすると，　その結果(けっか)の商        c との関係(かんけい)は　
                                                  a ÷ b ＝ c　    ①

   です．　もちろん a > b ですね．　この式を 書きかえると

　　　　　　　　　　　　      ａ ＝ b × c       ②  ☚ 3)

と書けます．　有理数(ゆうりすう)の記事(きじ)に書きますが， ② の式を 分数(ぶんすう)で 書きなおすと，

　　　　　　　ａ / b ＝　a × ( 1 / b ) ＝ c       ②’ ☚ 3)

※ 3)  ② と ②’ を比較すれば　分数の割り算は　なぜ逆数(ぎゃくすう)を掛            (か)けるかの理由が解りますね．　b は 1 / b の逆数．
                                                 ＜ 分数のわり算では 逆数を掛ける，疑問 ＞
 
 

② を使って 説明します

　・・・　残念ながら，　現段階で 証明を 思いついていません． 偶数と奇数に 倍数の考え方を加味して考えないといけないでしょう．　証明についてはまた今度ね．
 
　　　　　　たとえば　4 ÷ 2 ＝ 2 6 ÷ 2 ＝ 3 10 ÷ 2 ＝ 5
　　　　　　　n ＝ n’× □　　・・・　？？？
 
                     たとえば　6 ÷ 3 =　2 10 ÷ 5 ＝ 2 12 ÷ 3 ＝ 4
                         n ＝ m × □　　・・・　？？？

                     ※   奇数 ÷ 偶数　割り切れない　　・・・　！！！

                     たとえば　9 ÷ 3 ＝ 3 15 ÷ 3 ＝5 15 ÷ 5 ＝ 3
                         m ＝ m’ × □　　・・・　？？？
 

５．　等式と 偶数と奇数

　　　　ａ ＝ b のような等式のばあい　
　　　　　　　ａ が　偶数なら b も　偶数，　a が　奇数ならば b も奇数．
 
　　　　ａ ＝ b ± c なる等式では
　　　　　　　ａ が　偶数なら b c ともに　偶数 / 奇数．
 

やってみよう

　上に　まだ，出来ていません　・・・　と書いた，　除法における 証明 をやってみて下さい．