第1講義: 行列について学ぼう
序論
行列は、数学や工学、物理学などの分野で広く使われる非常に強力なツールです。この講義では、行列の基本概念、表記法、基本的な操作について学びます。
行列の基本概念
行列は、数や変数を格子状に配置したもので、行と列を持ちます。行列は、通常、大文字のアルファベットで表されます。例えば、行列 $${A}$$ は次のように表されます：
$$
A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}
$$
ここで、$${a_{ij}}$$ は行列の要素であり、$${i}$$ 行 $${j}$$ 列の要素を表します。
行列の基本操作
行列にはいくつかの基本的な操作があります。これらの操作を通じて、行列の性質や応用について理解を深めていきます。
行列の加法と減法
同じサイズの行列同士の加法と減法は、対応する要素同士の加法と減法によって行われます。
例: 行列の加法
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 \
3 & 4
\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}
5 & 6 \
7 & 8
\end{pmatrix}
$$
$$
A + B = \begin{pmatrix}
1+5 & 2+6 \
3+7 & 4+8
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
6 & 8 \
10 & 12
\end{pmatrix}
$$
行列のスカラー倍
行列のスカラー倍は、行列の全ての要素に同じスカラー（数）を掛ける操作です。
例: 行列のスカラー倍
$$
c = 2, \quad A = \begin{pmatrix}
1 & 2 \
3 & 4
\end{pmatrix}
$$
$$
cA = 2 \begin{pmatrix}
1 & 2 \
3 & 4
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 & 4 \
6 & 8
\end{pmatrix}
$$
行列の乗法
行列の乗法は、行列の行と列の要素を掛け合わせて、その合計を求める操作です。
例: 行列の乗法
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 \
3 & 4
\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}
2 & 0 \
1 & 2
\end{pmatrix}
$$
$$
AB = \begin{pmatrix}
1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 & 1 \cdot 0 + 2 \cdot 2 \
3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 & 3 \cdot 0 + 4 \cdot 2
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 & 4 \
10 & 8
\end{pmatrix}
$$
まとめ
行列は数や変数を格子状に配置したもので、行と列を持つ。
行列の加法と減法は、対応する要素同士の加法と減法によって行われる。
行列のスカラー倍は、全ての要素に同じスカラーを掛ける操作。
行列の乗法は、行と列の要素を掛け合わせて、その合計を求める操作。
次回の講義では、行列の逆行列と転置行列について学びます。質問があればどうぞ！
続きは、chatGPTで。