[数学検定3級] y=√2xの格子点？

こんにちは。
夏休みで息子と２人旅で数日終日会話していたら、ふとしたきっかけで思いついた数学の問題、です。数学検定3級に出てもおかしくないかな、と思いました。言われたら、すぐに思いつくかも知れませんけれどもね。

問題

直線 $${y=\sqrt{2}x}$$ 上に載っている格子点は原点 $${(0,0)}$$ に限ることを示せ。

(※)補足として「格子点」は、x座標、y座標ともに整数であるような座標点のことです。

実用数学技能検定 過去問題集 数学検定3級

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アイデア

例えば $${y=2x}$$ という直線を考えると、 原点 $${(0,0)}$$ は元より、 $${(1,2)}$$ や $${(-1, -2)}$$ などx座標が整数ならy座標も整数ですよね。比例定数の"2"はその拡大率、のように考えたらいいでしょうか。

その定数が $${\sqrt{2}}$$ という無理数の場合ですから、例えばx座標が1ならy座標は $${\sqrt{2}}$$ ですし、拡大率が無理数、つまり有理数で書けないって言うんだからx座標が整数の時y座標は無理数になりそうなもんですね。

この辺りの事情を答案にできればOKかと思います。

解法

原点 $${(0,0)}$$ は明らかに条件を満たすため、以下ではx座標は0でないと仮定する。このとき、

$$
\frac{y}{x}=\sqrt{2}
$$

と変形でき、左辺はx,yが整数、つまり $${y/x}$$ が有理数に対して、右辺 $${\sqrt{2}}$$ は無理数（補足：そもそも実数のうち有理数でないものを無理数と呼んだのでした）であるため成立し得ない。これは、直線 $${y=\sqrt{2}x}$$ 上には格子点が存在し得ないことを示す■

ということで、割り算の形にして左辺＆右辺に分けて考えればスッキリ証明できますね。問題の設定によっては、 $${\sqrt{2}}$$ が無理数であることを仮定してよいか、も焦点になるかと思いますが、数学検定３級、もしくは中学３年時の数学で習うはずなので、求められたらそこと合わせた答案にすれば良さそうです。

くわしい 中3数学 (中学くわしい)

応用

今回は $${y=\sqrt{2}x}$$ という式について考えました。

式を拡張すると、$${y=\sqrt{p}x+q}$$, $${p}$$は平方数でない数（つまり$${\sqrt{p}}$$が無理数）、 $${q}$$は有理数という場合も同様に、格子点を通るなら$${(0,q)}$$のみとも示せます。他にどんな拡張が出来るか？と考えてみるのも頭の体操でいいかも知れませんね。