変化の割合 【二次関数 ｙ＝ａｘ²】

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二次関数の基本は上の２つでおしまいです。
意外と少ないよね。分からないときは膨大に思えてしまうものです。

そして今回は変化の割合。
変化の割合ってなんなんだっていう説明は後でします。
とりあえず求められるようにしちゃうよ！

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【変化の割合】

一次関数でこういう説明があったの、覚えてるかな。

「ａ」の説明を読んでね。

一次関数の「ａ」は、

「直線の傾き」で、
「変化の割合」で、
「ｘの増加量 分の ｙの増加量」でした。

たとえば一次関数「ｙ＝－３ｘ＋６」の変化の割合は、
傾きａを答えるだけ。答えは「－３」でした。

だけどａが変化の割合なのは一次関数だけです。
二次関数の「ｙ＝ａｘ²」のａには、まったく関係ない。

ただ上の説明で、いつも使えるのもあります。

ここ！

「変化の割合」は「ｘの増加量 分の ｙの増加量」です。
この式は二次関数でもどこでも使えます。
（一次関数がたまたま、この式とａが同じだっただけ）

上と下の、どっちがｘでどっちがｙかは、
一次関数のグラフの描き方が頭に入ってれば覚えられます。

「横に２、縦に３」とか、
「２行って、３上がる」とかやったもんね。そのままです。

とにかくこの「変化の割合」＝「ｘの増加量 分の ｙの増加量」
これは覚えるしかない。
暗記といったら、連呼（れんこ）だったね。
声に出して読みまくる。これしかないです。

変化の割合 ＝ ｘの増加量 分の ｙの増加量、変化の割合 ＝ ｘの増加量 分の ｙの増加量、変化の割合 ＝ ｘの増加量 分の ｙの増加量、変化の割合 ＝ ｘの増加量 分の ｙの増加量、変化の割合 ＝ ｘの増加量 分の ｙの増加量、変化の割合 ＝ ｘの増加量 分の ｙの増加量、変化の割合 ＝ ｘの増加量 分の ｙの増加量・・

何回も読んだら覚えないほうが難しい。
覚えたら次行きましょ。

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【そもそも増加量って？】

もうひとつだけ知識つけておきます。
「増加量」についてです。

この式の「増加量」って、分かる？

「増加量」っていうのは
「どこからどこまで増えたか」っていうこと。
去年の150cmの身長が、今年157cmになってたら、
どのくらい増えてる？ってこと（増加量は7cm）

この「どこからどこまで」という考え方は
「長さ」とか「距離」とかと一緒です。

150cmから157cmは暗算でできるけど、
じゃあａからｂならどうする‥？

そういう解説を一次関数の面積問題のページで入れてました。
簡単に載せるね。

この「さいご－さいしょ」は、
「長さ」でも「キョリ」でも「増加量」でも使えるよ、
ということです。

さあ。これで問題に行けるよ。

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【変化の割合の問題】

さあ！
とりあえず実践しながら変化の割合を身につけようね。

こんな問題。

とりあえず「変化の割合」の問題なんで、こうします。

変化の割合って「ａ」とか「ｂ」みたいな文字がないんだ。
だから言葉をこうやって（　）で囲んで書いとけばいいです。
（たぶん）

そしたらこの式

だったね。

問題文の「ｘの値が１から４まで増加」を使って、
「増加量」を出します。

「１から」「４まで」だから
さいしょが「１」さいごが「４」です。
だから「さいご－さいしょ」は「４－１」です。

計算しないで書いてください。

分数の上も、増加量（さいご－さいしょ）だよね。
だから「－」だけ先に書いてください。

ここからがポイント。

そういえば問題文の「ｙ＝２ｘ²」を使ってないよね。
そんなことはあり得ないはず。
ここで使います。

手書きで説明するね。

こういうふうに、
下に書いた「さいご－さいしょ」を、
それぞれ「ｙ＝２ｘ²」に代入して、同じように書いてください。

ｘ＝４を代入してｙ＝２×４²で「ｙ＝３２」。
ｘ＝１を代入してｙ＝２×１²で「ｙ＝２」。

こういうふうに代入します。
だから計算しないで「４－１」って書いといたんだね。

じゃあ後は計算！

こうです。
単位はなくていいです。

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【変化の割合の問題②】

練習でもう１問やってみます。

似てる問題だね。
まずはこう書きます。

最初に「－」は、上下どちらにも書き込んどいてください。
（さっきは初めての説明だから省いたの）

そしたら問題文の「ｘの値が－３から－２まで」。
－３が「さいしょ」、－２が「さいご」です。
「さいご－さいしょ」だったよね。書き込みます。

マイナスなので（　）して書き込んでください。
このマイナスがゴチャゴチャの原因なんだ。
だからさっき、最初に「－」って書いといたのでした。

そしたら次は分子（ｙの増加量）だね。
それぞれ「ｙ＝２ｘ²」に代入します。

ｘ＝－２を代入してｙ＝２×（－２）²で「ｙ＝８」。
ｘ＝－３を代入してｙ＝２×（－３）²で「ｙ＝１８」。

これを書き込みます。

じゃあ計算です。

これで答えね！

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【ｘの増加量とｙの増加量の出し方】

ちなみに今の答えの、約分する前のこの部分。

ここで、「ｘの増加量」と「ｙの増加量」が分かります。

だから「ｘの増加量」「ｙの増加量」「変化の割合」を
「ぜんぶ求めろ」って言われたら、
変化の割合だけ求めれば、なんとかなるからね。

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【変化の割合（ａの値）】

次。

難しそう？
見た目だけでやられちゃだめだからね。
このサイトで突然できない問題は出さないからね。

見た目が難しそうな問題に出くわしたら。
やることは２つだけ。

　①　ていねいに読む
　②　とにかく手を動かす

見た目が難しいとだいたい、
「えー難しそうと飛ばして読む」「手が動かない」
になりがちです。
だから上の２つは、当たり前だけどとっても大事。

ていねいに読んで、
とにかくできるところから手を動かすのみ！

　「ｙ＝ａｘ²」で
　「ｘの値が２から４まで」の変化の割合

これって、文字「ａ」が入ってる以外は、さっきと同じだ。
じゃあ、とりあえずやってみようよ！

ここから

こうだね。
（ｙ＝ａｘ²に「ｘ＝４」と「ｘ＝２」を代入してます）

とりあえず解きましょう。

はい解きました！ここまでは出来たね。

変化の割合に、なぜか文字ａが入ってる。
そしたら問題文の

　変化の割合が－３

を使おうよ。

ね。
そしたら「６ａ＝－３」っていう方程式が出てきたでしょ。
じゃあ解くだけ。

これで答えです。
（方程式が分からなかったら必ずここをやること）

見た目が難しそうでも、

　①　ていねいに読む
　②　とにかく手を動かす

これだけで、意外となんとかなったね。

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【変化の割合の説明】

ていうか変化の割合ってなんだ！
軽く説明します（飛ばしてもいいです）

「変化の割合」って
「どのくらい変化するの？」ってことなの。

ちょっと比べてみます。

これと

これ。

どちらもｘ（横方向）に「２」増えています。
（「２から４」と「４から６」）

どっちも横に「２」増えてんのに、
１枚目の方は「上に６」で、
２枚目の方は「上に１０」。

実際に変化の割合出してみようね。
ｘが「２から４」は、

ｘが「４から６」は、

こうなります。さっきより大きい。

「２から４」より「４から６」の方が
「増える力がありますよ」っていうのが、
変化の割合を出すと分かるんだね。

（曲線だから、
　場所によって「変化する力」が違うということです）

こういうジェットコースターがあるとして、

降り始めのところと、
降りてるところは、
「変化の割合」全然違うよね！ってこと。

［降り始め］

［降りてる途中］

同じだけ横に進んでるのに、降りてる量が全然違う。

同じ条件で、
「どのくらい変化するのかの違い」を出せるのが
変化の割合だったんです（簡単に言うとね！）

こういうときはもちろんマイナスになるからね。
（ｙ（縦）の増加量がマイナスだから）

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【余談】

二次関数の変化の割合は
「ａ（ｘ₂－ｘ₁）」
って教わった人もいるかもしれない。

公式があるほうが、さっきまでのより簡単そうだよね。

でもどうして教えなかったのか。
よかったら考えてみてください。
もくじにある「本当の楽ってなに」のページがヒントです。

変化の割合の式に、
さいしょを「ｘ₁」さいごを「ｘ₂」として、
ｙ＝ａｘ²を使って入れてみたら、気付けるかもしれません。

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ということで変化の割合はここまで。
なんとなく難しそうだったけど、でもなんとかなったね！

練習問題、やっつけといてね。
２問だけだけど、よーく考えてクリアしてください。
そんで何回か解けばもう大丈夫です。

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［答え］