ε-N論法 ｜ Nをεで評価する？
こんにちは。大学数学をテーマに記事を書いています。梓です。
今回は「ε-N論法」について触れていきます。
高校生からすると「〜論法」という名前自体が格好良すぎます。
「ε-N論法」をご存知ない方でも、同論法の雰囲気を掴めていけるように頑張ります！
注意事項
※数学は好きですが、まだまだ勉強中ですので、間違いを含んだ内容や、誤解をさせてしまうような内容に意図せずなってしまうかもしれません。気楽に読んでくださる程度が丁度良いと考えています。
※稚拙な内容でもご容赦願います。๑•́ㅿ•̀๑) ᔆᵒʳʳ
尚、当記事作成には、「数研出版」さんの
「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」を傍用しています。丁寧な解説もあって分かりやすいです。お世話になりました。
定義だけ見ても分かんない。
（少なくとも私は）
ε-N論法の定義
( LaTeX ：文章に関数を挿入できるソフトウェア )
ε-N論法についてインターネットを通じて調べてみると、「大学数学最初の壁」のように、やはり高校数学からのギャップを感じる人が多いようです？
そもそもギリシャ文字を使う時点でハイレベル感が…（数学初心者）
では、定義について考えていきます。左の番号は、上記の定義の何行目について言及しているのかを示しています。１行ずつ考えていきます。
数列{an}は極限をとると、何かに収束するような数列なんでしょうね。
つまり 1/n とかですか。 n が大きくなっていくとだんだん小さくなって 0 に近づいていきますもんね。「任意の正の数 ε に対して、」、ε-N論法の ε がここで出てきましたね。
その ε と自然数 N が存在している。そして、その自然数 N 以上であればどんな自然数 n についても、
数列anと収束した値の差の絶対値は ε よりも小さい！って言える。
以上を踏まえると、
ε-N論法は、数列の極限とその数列の収束先との差に関して言及したものなのでしょうか。
しかし、これをどのようにして問題の解法として利用していくのでしょうか。
次に、例題を通して利用法を学んでいきます。
例題
以下の第 n 項を表す数列は収束しないことをε-N論法を用いて示しましょう。
この問題は、背理法を用いた証明が定石でしょうか。
まず収束することを仮定すると、ε-N論法を用いた主張ができるので、その主張の矛盾を見つけていきます。
しかし、絶対値にすることで、少なくともaN+αより大きくなることがなくなるので、等号を残しつつ不等号を付けることができます。(分かり辛くてごめんなさい！)
証明終了記号を忘れてしまいましたが、以上がε-N論法の利用法の一つになります。
おわりに
以上が簡単なε-N論法の定義と利用法の紹介になります！
初めて、大学数学に関する記事を書いていて、「この表現をしても大丈夫なのかな」等、不安になる場面が多い反面で、好きな数学について勉強していて楽しい時間でもありました。
非常に拙い文章でしたが、最後まで読んで頂き光栄です。
併記）ε-N論法はCauchy列とも深い関わりがあるので、次回はCauchy列について記事を書いてみようと思います。