銀のエンゼルが5枚出るまでのチョコボール購入回数の期待値
よっしゃ、銀のエンゼル3枚目出た～。ついにおもちゃのカンヅメゲット！って思ったらあれ？5枚必要だと？5枚。遠すぎ。一体あと何回チョコボール食べたら5枚集められるんだろう？期待値が気になった。
銀のエンゼルが出る確率は、ネット検索すると、大人買いで調べた人が結構いて、どうやら36/1000らしい。
1枚出るまでの購入回数の期待値は、直感通りで、1000/36=27.777…だ。5枚出るまではその5倍で、138.888...回。あと2枚なので55.555...回。いやなかなか多いぞ。何千円もかかる。トホホ。
1枚出るまでの購入回数の期待値は、厳密にはこのように計算した。
p=0.036（銀のエンゼルが出る確率）、q=1-p=0.964（出ない確率）とする。
購入回数の期待値A
=1x(1回目で出る確率)+2x(2回目で出る確率)+3x(3回目で出る確率)+…
= (1回目以降に出る確率)+(2回目以降に出る確率)+(3回目以降に出る確率)+…
=1+(1回目に外れる確率)+(2回目まで外れる確率)+…
=1+q+q^2+q^3+…
よって、qA = q+q^2+q^3+…なので辺々引いて、(1-q)A = 1。
よって、購入回数の期待値A = 1/(1-q) = 1/p = 27.777…。
結局1/pかい。ただ割るだけであり、上に書いた直感的に考えた計算と一致する。直感的っていうのは要するに1回で0.036枚当たるからってこと。
2枚出るまでの購入回数の期待値は、同じように計算しようとするとなんかめんどうな感じになってやめてしまった。きれいになるはずだから知りたいけれど。しかし1枚目が出たあと、2枚目が出るまでチョコボールを買うのは、1枚目と独立に考えられるので、期待値は2倍になるということで良さそうだ。1枚のときと同じで、1回で0.036枚当たるから期待値は2/0.036回ということでもオッケー。
厳密には、このように考えると、2枚出るまでの購入回数の期待値を計算できる。
E1を1枚出るまで、E2を2枚出るまでの購入回数の期待値とする。
1回買った時、確率pで残りE1回、確率(1-p)で残りE2回に遷移することがわかる。
よって、E2 = 1 + p x E1 + (1-p) x E2。
変形すると、E2 = 1/p + E1 = 2xE1だ。
同様にE3 = 1/p + E2、、、、En = 1/p + E(n-1)なので、En = n x E1とわかる。
おもちゃのカンヅメ。小学校低学年くらいのころは、持ってる友達がかなり羨ましかったような気がする。だって5枚も集められないじゃないか！何十年前の話だよ。
今回ばかりはなんとかあと2枚、当てておもちゃのカンヅメをゲットする。そう意気込むのだ。
などと言って義務的に買ってるとチョコボールが嫌いになってしまいそう。
（追記 2023-05-20）追加で2枚当たって、ついに5枚集まった。
残り2枚当てるのに必要な購入回数期待値は55回と算出してたけど、15回くらいで集まった。運が良かったな。あとは「おもちゃのカンヅメ」をもらうまでだ。これでチョコボール買わなくて良くなる！あれ？
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