力学の超基礎を令和２年環境計量士過去問（環物問10）でやってみる（そにょ4　日本一雑なふりこ退治）

さて、ふりこの話をしていたらいつの間にか円運動や虚数とかいうワケワカメな話をしていましたがそろそろ終わらせたいと思います。

ふりことか、ばねの単振動の話って、単振動といって変位に対して反対側に変位に比例する形の力がかかるパターンになります。このパターンの問題はたっくさんあるので、まとめて仕留めちゃおうというやつです。高校レベルだと、たぶんばねとふりこと音の振動数くらいなのでまとめて暗記っで言ってることが多いと思います。これ自体は否定しないけど、なぜか本番で忘れるので思い出し方を抑えときましょというやつです。音の話は音編でやるので今回はばねとふりこです。

１．かかる力ってどうなん？

図で書いてみました。この絵だけ見て実際紙に書いてみてください。運動方程式を書くとばねに引っ張られた物体は変位に比例して中心側にかかる力を受けてます。厳密にいうといろんな力を受けていますし、振れ幅大きいときちんと議論すると振れ幅も無視できないですが、授業でやる実験レベルだと振れ幅によらず周期は糸の長さとおもりの重さで表せるっていっていいらしいです。じっさいやったらうまくいかないかもしれませんがそれはご愛敬、学校のレポート優もらいたいならそういうとこまで考察しましょう。で、本題にもどりまーす。それをするにはちょっと変な近似つかいます。角度小さい時sinθ≒θ。意外とこの近似よくできてます。

２．円運動との関係

さて、ここからが考察。この加速度の式まではがんばってください。ここから、微分方程式できれば一発なのですが厄介な形です。今回はあくまで日本一雑な振り子退治なので、円運動に無理やり移しこんでみました。よく見るのがsin側なので、若干無理くりですが虚軸側をとって、単振動の時は実軸を見ない形にしています。そうすると、うまくこの公式でいるものが出てきてるのがわかると思います。ただし、速度についてきちんと出す場合、sinとcosが入れ替わるのだけは気を付けてください。まえにiが掛かってます。

３．チート技

さて、試験会場に行こうと思ったら焦りすぎてすべてが手につかない。デモまだあきらめるのは早いです。こういう時は、単位に注目しましょう。
加速度は[m/s(-2)]、長さは当然[m]。ここまで出たら、角速度の単位は？これ練習問題１にします。ここで、たぶん前には何もついてないというのはいじっているではないので素直にルートするだけだなって思い出す。あとは単位円とかいろいろ書いて思い出しましょう。少々違っても答えにたどり着くことがマークセンスだとありますし入試でも当たれば勝ちです。書きましょう。
ちなみに、なぜふりこの問題が出るか？それは、振り子って振れ幅をめっちゃ小さくしたら周期が振れ幅によらなくなるからです。

４．練習問題

（１）ふりこの運動について、重力加速度と糸の長さの単位から、加速度の式を予想し、答えと見比べてください。また、振り子の周期T(-iからiまで行って帰って、つまり往復の時間）を計算してください。

（２）ばねは、比較的短い距離において元の長さから変わった変位xに対し、ばね定数kを使って-kxの力がかかります。今、天井につるしたばねに重さmのおもりをつけて放置プレイにしたのち、少しだけばねを伸ばして放したところ単振動しました。(A)この状況をお絵かきしてみてください。(B)この振動の周期を求めてください。(C)おもりの重さが4倍になると周期は何倍になるでしょうか。これも、できたら運動方程式立てる前にまずは予想してみてください。

５．こたえ

（１）ω=√(g/L)　、T=2πω（注：T=2π√(g/L)とかもまる。）

（２）(A)のこたえは下。別に多少違ってもいいです。
(B)ma = -kxの関係に注目してa=なんとかかける変位の形にすると
a=-√(k/m) xになるので、さっきと同じ式変形パターン使うとω^2=k/mに注目しT=2π√(k/m)
(C)1/2倍

６．その他

とりあえず、あと衝突の話題とか残ってますが力学編はこの辺にしたいと思います。おやすみなさーいぱたり