Ⅷ. 関数の漸近線【基礎微積分学：大学数学】
今回の記事はかなり短め。
0. 前置き
今まで極限の話ばっかしてたのに、急に線の話ってなんなんだ、となるかもしれないが、関係しているものではあるので落ち着いて見てほしい。
そもそも「漸近線」とは何か、ということに関してなんだが、それは二つに分かれる漸近線の定義で話させてほしい。ということで、まず１つ目から。
1. 水平漸近線（Horizontal Asymptote）
まず水平から見てみる。定義はこちら。
関数$${f}$$が$${x\longrightarrow\infty}$$または$${x\longrightarrow-\,\infty}$$のとき$${c}$$に収束するとき、
（つまり$${\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=c}$$または$${\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=c}$$のとき）
直線$${y=c}$$を関数$${f}$$の水平漸近線と呼ぶ。
図で見たほうが早いので例を出してみよう。
まぁ名前の通り水平方向に引いてあるグラフがだんだん（漸）近づく線だな～、っていうビジュアル。
「漸」の読みは「ようやく」だが、「だんだん、しだいに」という意味。
この関数$${f(x)=e^{-x}+0.7}$$の水平漸近線は$${y=0.7}$$になる。
$${x\longrightarrow\infty}$$のとき$${f(x)\longrightarrow0.7}$$からね。
あとは、$${\displaystyle \frac{\,1\,}x}$$の$${y=0}$$や、$${\tan^{-1} x}$$の$${y=\pm\,1}$$もある。
少なくはあるが、水平漸近線$${y=c}$$をもつ関数$${f}$$の特徴としては
正負の無限近方［$${(-\,\infty,\;p)}$$か$${(q,\;\infty)}$$、$${^\exists p,\;^\exists q\in X(f)}$$］で
－ 連続（$${\pm\,\infty}$$への極限が成立してるから）
－ $${> c}$$か$${< c}$$（振動しながら収束するものは扱わない。）
－ $${c}$$は値域に含まれない
（正負は収束する側による。）
2. 垂直漸近線（Vertical asymptote）
さあ、今度は水平ではなく垂直だ。定義からどうぞ。
関数$${f}$$が$${x\longrightarrow c}$$のとき$${f\longrightarrow\infty}$$または$${f\longrightarrow-\,\infty}$$のとき、
直線$${x=c}$$を関数$${f}$$の垂直漸近線と呼ぶ。
こちらも早速例を出して説明しよう。ちなみにグラフが二つあるが、
これらは原点の位置をズラしただけで同じ関数のグラフだ。
こちらも名前の通り垂直に伸びたグラフが漸と近づく線。
今見える範囲での$${g(x)=\tan0.3x}$$の垂直漸近線は$${\displaystyle x=\frac{\,\pi\,}2}$$。
実際の$${c\tan x\;\;(c\neq0)}$$の垂直漸近線は$${\displaystyle x=\frac{\,2n+1\,}{2c}\pi\;\;(n\in\mathbb{Z})}$$で、無限個ある。
実際に描いたら有限個かもしれないが、グラフを広げたらもっとある。
他の垂直漸近線としては、$${\ln x}$$や$${\displaystyle\frac{1}{\,x^2\,}}$$とかの$${x=0}$$がある。
3. 漸近線（Asymptote）
さて、この本ではこの水平漸近線と垂直漸近線をもって「漸近線」というが、
実はこの二つだけではないらしい。
……が、ここでは紹介しない。扱わない関数しか出てこなさそうで。
$${\displaystyle\frac{\,\sin x\,}x}$$とかありそうじゃない？ しらんけど。
次は、微分係数＆導関数について見ていく。
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