Ohlson モデルの式展開

こんにちは、勉強やぎです。
今日は、Corporate Valueの測定方法の１つである。
Ohlson モデルについて紹介していきます。

0, 初めに

Ohlson モデルの説明の前に簡単に基礎知識を。
まず、 源流は配当割引モデル-Dividend Discount Model-通称DDMとなっています。
次にDDMを発展させたものが、残余利益モデル-Residual Incom Model-通称RIMとなります。
※ここまでの話は、今回の主題ではないので割愛します。

本題ですが、RIMを現実世界に適用可能な形へと発展させたものが、Ohlson モデルとなります。
RIMでは、バリュードライバーはr（資本コスト）と利益と簿価（Book value）だったわけですが、これに線形情報ダイナミクス（Linear Information Dynamics）を仮定したものがOhlsonモデルです。
以下、式の解説を始めていきます。
（Ohlsonモデルとは何かという話を深めたい方はLet's google!
　※いつかNoteにしたいとが思います^^）
なお、今回理解する上で参考にさせていただいたものは、
①椎葉淳_大阪大学(2018)の「会計情報に基づく企業価値評価(4)」と
②大鹿智基_早稲田大学(2023)の「非財務情報の意思決定有用性」を使用している。
なお、数式の導出過程は、基本的には①椎葉淳のものをベースに進めていくものの、配当割引モデルや残余利益モデルなどに関しての理解の基礎は②大鹿智基の著書によるものが大きい。

1,　モデルの公式

今回、理解する最終式は以下のものである。
これが俗にOhlsonモデルと言われる式である。

$${V_t = Y_t + \frac{\omega}{1 + r - \omega} X^a_t + \frac{1 + r}{(1 + r - \gamma)(1 + r - \omega)} v_t}$$

2, 配当割引モデル（DDM)

配当割引モデルについては詳細は導出過程を記載しているものが多くあるためこのNoteでは省略する。今回使用する配当割引モデルの記載は以下のもの。
基本は変わることなく、無限期間の配当の現在割引価値の合計額となっている。

$${V_t = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{E_t[D_{t+i}]}{(1 + r)^i} }$$

3, 残余利益モデル（RIM）

残余利益モデルについてもDDMと同様に、当Noteでの詳述は省略する。
期首簿価に無限期間の利益から資本コストを控除したもの（残余利益）の現在割引価値の合計額となっている。

$${V_t = Y_t + \sum_{i=1}^{\infty} \frac{E_t[X^a_{t+i}]}{(1 + r)^i} }$$

4, 線形情報ダイナミクスの仮定

線形情報ダイナミクスについて次の時系列を仮定する。

$${X^a_{t+i+1} = \omega X^a_{t+i} + v_{t+i} + \varepsilon_{1, t+i+1} }$$
$${v_{t+i+1} = \gamma v_{t+i} + \varepsilon_{2, t+i+1} }$$
なお、$${E_t [\varepsilon_{1, t+i+1}] = 0}$$ 、$${E_t[\varepsilon_{2, t+i+1}] = 0}$$、$${i \le 0}$$であり、
ω、γは$${0 \le \omega < 1}$$、$${0 \le \gamma < 1}$$　を満たす既知の定数である。

5, Ohlsonモデルの導出

他の論文や専門書では、この次の式には最終式が記載されていることも多いと思う。その導出の詳細をここからStep形式で記載していく。

Step1

t+i期のその他の情報$${v_{t+i}}$$の期待値は以下のように表現できる。
$${E_t [v_{t+I}] = \gamma^i*v_t }$$　ーA
そして、この式も通例であれば解説の途中で唐突に提示されることが多いが、
今回のNoteではこのレベルの部分から詳述していく。
※当Noteでは基本的に掛け算（*）は省略して記載するが、あったほうが視認性が良い場合などは適宜付している。
Aの式は次のように考えることで導出される。
A式はt+i期のその他の情報についての式だが、ここでは次期について考える。
次期はt+i+1期と表現できる。ここでt+i+1期のその他の情報は、
前述した時系列の仮定において前提として既に表現されている。
$${v_{t+i+1} = \gamma v_{t+i} + \varepsilon_{2, t+i+1} }$$
この式の内容は、その他の情報$${v_{t+i}}$$にγを乗じて、
ノイズ（誤差項ε）を足したものが次期のその他の情報を示すという意味である。
これを次期ではなく当期にした場合以下のようになる。
$${v_{t+i} = \gamma v_{t+i-1} + \varepsilon_{2, t+i} }$$
このままでは分かりづらいので、具体的な数値を入れて考えてみる。
i=1,のとき
$${E_t [v_{t+1}] = E_t [\gamma v_t] }$$　
　$${ = \gamma * E_t [v_t] }$$
 $${ = \gamma v_t }$$
i=2,のとき
$${E_t [v_{t+2}] = E_t [\gamma v_{t+1}] }$$
　$${ = \gamma * E_t [v_{t+1}] }$$　ここでi=1のときの結果を代入できる。
　$${ = \gamma * \gamma v_t }$$
　$${ = \gamma^2 v_t }$$
・・・となる。このように無限に増えていくため、これを一般項として表記すると最初の式のように、$${E_t [v_{t+I}] = \gamma^iv_t }$$となることがわかる。
※なお、$${E_t[\varepsilon_{2, t+i+1}] = 0}$$については期待値で考えた場合に
0になるのでここでは考慮しなくて良い。

Step2

t+i期の残余利益 $${E_t \left[ X_{t+i}^a \right]}$$ の期待値
まず、前提となるのは時系列の仮定による以下の式である。
① $${X^a_{t+i+1} = \omega X^a_{t+i} + v_{t+i} + \varepsilon_{1, t+i+1} }$$
これは次期の期待値であるため当期（t+i期）の式は以下のようになる。
② $${X^a_{t+i} = \omega X^a_{t+i-1} + v_{t+i-1} + \varepsilon_{1, t+i} }$$
これを期待値の枠組みに落とし込み記載すると以下。
③ $${E_t[X^a_{t+i}] = E_t[\omega X^a_{t+i-1} + v_{t+i-1} + \varepsilon_{1, t+i}] }$$
ωは期（変数i）に影響を受けないので期待値の外に出せる。
また、$${E_t [\varepsilon_{1, t+i+1}] = 0}$$であるため、消すことが出来る。
④ $${= \omega E_t[X^a_{t+i-1}] + E_t[v_{t+i-1}] + 0 }$$
ここで、$${E_t[v_{t+i}] = \gamma^i v_t}$$　であるため、
$${E_t[v_{t+i-1}] }$$は、$${E_t[v_{t+i-1}] = \gamma^{i-1} v_t}$$と表現できる。
これを④に代入すると
⑤ $${= \omega E_t[X^a_{t+i-1}] + \gamma^{i-1} v_t }$$
さらに、$${E_t[X^a_{t+i-1}]}$$　は、④で代入した時と同じ考え方で、以下のように表現することができる。（iから引かれる数がどんどん小さくなっていくイメージ。）
⑥ $${= \omega E_t[\omega X^a_{t+i-2} + v_{t+i-2} + \varepsilon_{1, t+i-1}] + \gamma^{i-1}v_t }$$
これを繰り返す。
⑦ $${ \omega^2 E_t [X^a_{t+i-2}] + \omega E_t [v_{t+i-2}] + \gamma^{i-1} t_v }$$
⑧ $${ \omega^2 E_t [X^a_{t+i-2}] + \omega \gamma^{i-2} v_t + \gamma^{i-1} t_v }$$
もう一回
⑨ $${ \omega^3 E_t [X^a_{t+i-3}] + \omega^2 \gamma^{i-3} v_t + \omega \gamma^{i-2} v_t + \gamma^{i-1} t_v }$$
ここから法則性が見えてくる。公比数列になっている。
元はt+i期の期待値を求めたかったので、t+i期を基準としてそこから過去に遡っている年数を "j" とおく。
この場合は初項は最初に出てくる部分 $${\gamma^{i-1}}$$であり、jを用いて表現すると、$${\gamma^{i-j}}$$　となる。
公比は項が進むにつれ増加していく部分である。
今回増えているのは$${\gamma}$$にくっついている$${\omega^{j-1} }$$　である。j-1なのは、シンプルな目線で具体的な数値を見ていただければわかる。
これを等比数列の式にまとめると以下のようになる。
⑩ $${= \omega^i X^a_t + \sum_{j=1}^i \omega^{j-1} \gamma^{i-j} v_t}$$
ここまでがStep2である。

Step3

⑩式の展開
ここでは⑩の式の中でも特にΣ部分について展開をしていく。（個人的にはここの展開が一番難解な気がしています。）
① $${ \sum_{j=1}^i \omega^{j-1} \gamma^{i-j} v_t}$$
このうち$${v_t}$$はjのindexではないため、Σの計算外に出すことができる。
② $${ v_t * \sum_{j=1}^i \omega^{j-1} \gamma^{i-j} }$$
ここで指数法則として２つ紹介する。（詳細については調べてほしい。）
1, $${ a^b + a^c = a^{(b+c)}}$$
2, $${a^{-b} = \frac{1}{a^b} }$$
これを用いて②の一部を変形する。
$${\gamma^{i-j} = \gamma^{i-1} * \gamma^{-(j-1)}}$$　と分解できる。
ここで指数が同じであるものは括ることができる。
ここまでの情報をもとにして進めていく。
③ $${v_t * \sum_{j=1}^i \omega^{j-1} * \gamma^{i-1} * \gamma^{-(j-1)}}$$
ここで指数が同じものはまとめることが出来るという性質と指数法則2として紹介したものを式に反映させる。
④ $${v_t * \sum_{j=1}^i (\frac{\omega}{\gamma})^{j-1} * \gamma^{i-1} }$$
ここで、$${ \gamma^{i-1} }$$は初項、$${(\frac{\omega}{\gamma})^{j-1} }$$は公比であることが分かる。
今更ではあるが、等比数列の和の公式は以下である。（後ほど考え方は詳述）
公式：$${ \sum_{j=1}^i a*r^{j-1} = \frac{a(1-r^i)}{(1-r)} }$$
この公式に当てはめて④式を展開すると以下のようになる。
⑤ $${ v_t \gamma^{i-1} *\frac{1-(\frac{\omega}{\gamma})^i}{1-(\frac{\omega}{\gamma})} }$$
この分数の部分に分母分子にγを乗じる。
そして、ここまま乗じると分かりづらいので分子の部分を指数法則に基づき少し分解する。
$${ (\frac{\omega}{\gamma})^i = (\omega^i * \gamma^{-i}) }$$とできる。
⑥  $${ v_t \gamma^{i-1} *\frac{\gamma - \gamma(\omega^i * \gamma^{-i})}{\gamma - \omega} }$$
ここで少し外していた初項部分を分子へ戻す。
⑦ $${ v_t \frac{\gamma^i - \gamma^i (\omega^i * \gamma^{-i})}{\gamma - \omega} }$$
ここで少し疑問に思った方がいるかもしれないが$${\gamma = \gamma^1}$$であることを記す。-1+1=0ということ。
⑧ $${ v_t \frac{\gamma^i - \gamma^0 * \omega^i}{\gamma - \omega} }$$
となり、0乗は1であるため、この式は最終的に次になる。
⑨ $${ \frac{\gamma^i - \omega^i}{\gamma - \omega} v_t }$$
ここまでがStep3である。

Step4

Step3で展開したものをもとに戻す。
具体的には、$${E_t[X^a_{t+i}] = \omega^i X^a_t + \sum_{j=1}^i \omega^{j-1} \gamma^{i-j} v_t}$$のΣ部分に代入していく。
① $${ \omega^i X^a_t +  \frac{\gamma^i - \omega^i}{\gamma - \omega} v_t }$$
そしてこの式を残余利益モデルに代入する。
残余利益モデル：$${V_t = Y_t + \sum_{i=1}^{\infty} \frac{E_t[X^a_{t+i}]}{(1 + r)^i} }$$
② $${= Y_t + \sum_{i=1}^{\infty}  \frac{\omega^i X^a_t +  \frac{\gamma^i - \omega^i}{\gamma - \omega} v_t}{(1+r)^i} }$$
このままだと分かりづらいので、展開していく。
なお、展開する方法については先ほどまでの内容の組み合わせであるため、
特筆すべき事項が出てくるまでは、無言で展開していく。
③ $${= Y_t + \sum_{i=1}^{\infty} \frac{\omega^i X^a_t}{(1+r)^i} + \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{(1+r)^i} * \frac{\gamma^i - \omega^i}{\gamma - \omega} v_t }$$
iが関わらない部分をΣの外に出す。
④ $${= Y_t + ( \sum_{i=1}^{\infty} \frac{\omega^i}{(1+r)^i} ) X^a_t + ( \sum_{i=1}^{\infty} \frac{\gamma^i - \omega^i}{(1+r)^i} )* \frac{v_t}{\gamma - \omega} }$$
⑤ $${= Y_t + ( \sum_{i=1}^{\infty} (\frac{\omega}{(1+r)})^i ) X^a_t + \{( \sum_{i=1}^{\infty} (\frac{\gamma}{(1+r)})^i ) - ( \sum_{i=1}^{\infty} (\frac{\omega}{(1+r)})^i ) \} * \frac{v_t}{\gamma - \omega} }$$
ここで、等比数列$${\sum_{i=1}^{\infty} \frac{\omega}{(1+r)}^i }$$ を$${S_n}$$とおき、展開を進めて再度⑤に代入する。

等比数列の和の公式の当てはめ
A: $${S_n = (\frac{\omega}{1+r})^1 + (\frac{\omega}{1+r})^2 + \cdot\cdot\cdot + (\frac{\omega}{1+r})^{\infty} }$$
これに$${(\frac{\omega}{1+r})}$$を乗じると以下のようになる。
B: $${(\frac{\omega}{1+r}) S_n = (\frac{\omega}{1+r})^2 + \cdot\cdot\cdot + (\frac{\omega}{1+r})^{\infty} + (\frac{\omega}{1+r})^{\infty+1} }$$
これで公比を乗じると項が一つずつずれていくのが分かる。
ここで、A式ーB式を行う。
C: $${S_n - (\frac{\omega}{1+r}) S_n = (\frac{\omega}{1+r})^1 - (\frac{\omega}{1+r})^{\infty} - (\frac{\omega}{1+r})^{\infty+1}}$$
となる。ここでだいぶ前に出てきた前提だが、$${0 \le \omega < 1}$$という仮定がある。これにより、$${(\frac{\omega}{1+r})^{\infty} }$$は分子が最終的に0に収束する。（この詳細は極限について検索すれば理解可能。）ちなみにrは明示されていないが、$${r>0}$$であることが普通であるため、分母も$${\infty}$$となり発散する。したがって、どの理解をしてもこの項は"0"へと収束する。※次の$${\infty+1}$$の項でも同じことが言える。
D:  $${S_n - (\frac{\omega}{1+r}) S_n = (\frac{\omega}{1+r})^1 }$$
左辺を整理する。
E: $${(\frac{S_n (1+r)}{1+r}) - (\frac{\omega}{1+r}) S_n = (\frac{\omega}{1+r})^1  }$$
ここで分母が共通しているため、消去できる。
F: $${S_n (1+r) - S_n*\omega = \omega}$$
$${\omega}$$でくくれる。
G: $${S_n (1+r-\omega) = \omega}$$
H: $${S_n = \frac{\omega}{(1+r-\omega)} }$$
と表現することができる。
そして、この展開は、同じ形をしているものにも適用できる。
つまり、$${\sum_{i=1}^{\infty} (\frac{\gamma}{(1+r)})^i }$$にも同じ展開ができる。
これを踏まえた上で⑤式に代入する。

Step5

最終段階の導出
⑤ $${V_t = Y_t + ( \sum_{i=1}^{\infty} (\frac{\omega}{(1+r)})^i ) X^a_t + \{( \sum_{i=1}^{\infty} (\frac{\gamma}{(1+r)})^i ) - ( \sum_{i=1}^{\infty} (\frac{\omega}{(1+r)})^i ) \} * \frac{v_t}{\gamma - \omega} }$$
に先ほど得た知見を代入する。

① $${ V_t = Y_t + \frac{\omega}{(1+r-\omega)} X^a_t + \{ \frac{\gamma}{(1+r-\gamma)} - \frac{\omega}{(1+r-\omega)} \} * \frac{v_t}{\gamma - \omega} }$$
少し整理する。
② $${= Y_t + \frac{\omega}{(1+r-\omega)} X^a_t + \frac{\gamma (1+r-\omega) - \omega(1+r-\gamma)}{(1+r-\gamma)(1+r-\omega)} * \frac{v_t}{\gamma - \omega} }$$
ここで視認性のために$${(1+r)}$$を$${R_f}$$と置き換える。
ちなみにOhlsonはそのように表記していたようです。
③ $${ = Y_t + \frac{\omega}{(R_f-\omega)} X^a_t + \frac{\gamma (R_f-\omega) - \omega(R_f-\gamma)}{(R_f-\gamma)(R_f-\omega)} * \frac{v_t}{\gamma - \omega} }$$
分子を計算する。
④ $${ = Y_t + \frac{\omega}{(R_f-\omega)} X^a_t + \frac{\gamma R_f - \gamma\omega - \omega R_f + \gamma\omega}{(R_f-\gamma)(R_f-\omega)}* \frac{v_t}{\gamma - \omega} }$$
括れる部分を括る。
⑤ $${ = Y_t + \frac{\omega}{(R_f-\omega)} X^a_t + \frac{R_f (\gamma - \omega)}{(R_f-\gamma)(R_f-\omega)} * \frac{v_t}{\gamma - \omega}}$$
ここに来てついに、$${\frac{v_t}{\gamma - \omega}}$$の分母$${\gamma - \omega}$$が消去される。
⑥ $${ = Y_t + \frac{\omega}{(R_f-\omega)} X^a_t + \frac{R_f}{(R_f-\gamma)(R_f-\omega)} * v_t}$$
ここで$${R_f}$$を$${(1+r)}$$に戻すと公式の完成である。
⑦ $${V_t = Y_t + \frac{\omega}{(1+r-\omega)} X^a_t + \frac{1+r}{(1+r-\gamma)(1+r-\omega)} * v_t}$$

6, 終わり

以上、Ohlsonモデルの導出であったが、いかがだったでしょうか。
他分野から来た大学院生、学部時代にあまり理論的な部分に触れてこなかった人など、実証分析をしようと試みている中でモデルの成り立ちを知りたい方の参考になれば大変幸いです。
また、何か不備誤謬等ございましたら、コメントいただけますでしょうか。
よろしくお願いいたします。

7,  参考文献

・大鹿智基(2023)『非財務情報の意思決定有用性 -情報利用者による企業価値とサステナビリティの評価-』, 中央経済社, pp.50-58.
https://cir.nii.ac.jp/crid/1130859746539284505
・椎葉淳(2018)「会計情報基づく企業価値評価(4)」, 大阪大学, pp.3-11.
http://www2.econ.osaka-u.ac.jp/~shiiba/educationpast/education2019/Valuation4.pdf
残りOhlsonモデルの元文献については省略させてください。。。

最終更新：2024/11/10 Sun 15:00