x^3 ± a^3 = 0の方程式の解の公式を求める
今回は$${x^3\pm a^3=0}$$の方程式の解の公式を求めていきます。
使う公式
今回使用する公式は以下のものです。
・$${x^3+a^3=(x+a)(x^2-ax+a^2)}$$
・$${x^3-a^3=(x-a)(x^2+ax+a^2)}$$
・$${2次方程式の解の公式(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a})}$$
今回は便宜上、上2つを下のようにまとめておきます。
・$${x^3\pm a^3=(x\pm a)(x^2\mp ax+a^2)}$$
解き方
今回は例題として$${x^3-8=0}$$を解いてみましょう。
まずは上の公式に当てはめて左辺を因数分解します。
$$
x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)
$$
つまり、$${(x-2)(x^2+2x+4)=0}$$を解けばいいということです。ここで、$${A=x-2,B=x^2+2x+4}$$とおくと、
$$
(x-2)(x^2+2x+4)=0\to AB=0
$$
と表すことができます。$${AB=0}$$になる条件は、
$$
A=0 or B=0
$$
となります。つまり、
・$${x-2=0}$$
・$${x^2+2x+4=0}$$
の2つを解いてその解が答えということです。
$${x-2=0}$$を解くと$${x=2}$$,$${x^2+2x+4=0}$$を解くと$${x=-1\pm\sqrt{-3}}$$、つまり$${x=-1\pm\sqrt{3}i}$$となります。よって。$${x^3-8=0}$$の解は、
$$
x=2,-1+\sqrt{3}i,-1-\sqrt{3}i
$$
の3つとなります。
虚数$${i}$$についての説明はここでは省きます。虚数については、下の記事の「虚数とは？」の項で少し解説していますので、興味のある方はこちらをご覧ください。
文字式で考える
今回は上の例題を文字式で考えていきます。先ほどの「使う公式」の項で説明したように、$${x^3\pm a^3}$$を因数分解すると下のようになります。
$$
x^3\pm a^3=(x\pm a)(x^2\mp ax+a^2)
$$
そして、先ほどの例題で説明したように、$${(x\pm a)(x^2\mp xa+a^2)=0}$$の形の方程式は、
・$${x\pm a=0}$$
・$${x^2\mp ax+a^2=0}$$
の二つを解けば良いです。$${x\pm a=0}$$の解は、$${a}$$を右辺に移項して$${x=\mp a}$$です。面倒なのは$${x^2\mp xa+a^2=0}$$のほうで、解の公式に代入しないと解けません。次にそれをやっていきます。
解の公式に代入
次に$${x^2\mp ax+a^2=0}$$を2次方程式の解の公式に代入していきましょう。2次方程式の解の公式は下のようになります。
$$
ax^2+bx+c=0 (a\neq 0) の解は、\\
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
$$
これに$${x^2\mp ax+a^2=0}$$を代入して計算すると下のようになります。
$$
x=\frac{-(\mp a)\pm\sqrt{(\mp a)^2-4\times1\times a^2}}{2\times1}\\
=\frac{\pm a+\sqrt{a^2-4a^2}}{2},\frac{\pm a-\sqrt{a^2-4a^2}}{2}\\
=\frac{\pm a +\sqrt{-3a^2}}{2},\frac{\pm a -\sqrt{-3a^2}}{2}\\
=\frac{\pm a+\sqrt{3}ai}{2},\frac{\pm a-\sqrt{3}ai}{2}
$$
つまり、$${x^3\pm a^3=0}$$の解は、
$$
x=\mp a,\frac{\pm a+\sqrt{3}ai}{2},\frac{\pm a-\sqrt{3}ai}{2}
$$
となります。
まとめ
±を分けて考えると、
【$${x^3+a^3=0}$$の解】
$${x=-a,\frac{a\pm\sqrt{3}ai}{2}}$$
【$${x^3-a^3=0}$$の解】
$${x=a,\frac{-a\pm\sqrt{3}ai}{2}}$$
となります。
最後まで見ていただきありがとうございました！