三角関数の加法定理の導出

「三角関数の加法定理」の導出方法に関する備忘録的な記事です.

導出したい公式

$$
\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta \\
\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta
$$

回転行列を利用した方法

$$
\begin{array}{}
\begin{bmatrix} \cos(\alpha+\beta) \\ \sin(\alpha+\beta) \end{bmatrix}
&=& \begin{bmatrix} \cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta & \cos\beta \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha \end{bmatrix} \\\
&=&\begin{bmatrix} \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta \\ \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta \end{bmatrix} \\
\end{array}{}
$$

したがって, 次式が得られる.

$$
\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta \\
\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta
$$

Eulerの公式を利用した方法

$$
\begin{array}{}
\cos(\alpha+\beta) +i\sin(\alpha+\beta)
&=& e^{i(\alpha+\beta)} \\\
&=& e^{i\alpha} e^{i\beta} \\\
&=& (\cos \alpha +i\sin \alpha)(\cos\beta + i\sin\beta)\\\
&=& (\cos\alpha\cos \beta - \sin\alpha \sin\beta) + i (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta)
\end{array}{}
$$

両辺の実部と虚部を比較すると, 次式が得られる.

$$
実部: \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta \\
虚部: \sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta
$$