「濃さ」と「途切れなさ」について

先日、このエッセイのなかで、こんな数式を紹介しました。

PQ - QP ＝ I

ここにある P とか Q とか I とかの説明はとばします。要は

　① 掛け算の順序を変えると値が変わってしまう
　② 順序違いの掛け算ペアを引き算すると同じ値になる

こういう不可思議なさんすうがあるんですよって話です。

①は高校数学で習う「行列」が該当しますね。検索で実例画像を拾ってきました。これです。

左辺は上も下も同じペアですが、掛け算の順序を入れ替えると違う値（右辺）になります。行列はほとんどのケースでこうなります。ちなみに絶対に左辺右辺不一致になるわけではなく、一致するケースもなくはないけれどそれは特殊例で、ほぼすべてのケースで左右不一致、すなわち「交換法則」が働いていない世界なのです。

といって、順序入れ替えしたペアを引き算して、必ず同じ値になるわけでもありません。そういう法則は働いていない。しかしそういう法則が働く世界が、行列にはあります。行と列が無限に続く、そういう行列世界においてはありうるのです。

どうしてそんなことがありうるのか？ そもそもそれはどんな行列世界なのか。この問いに答えるには、ながあい定義と証明の果てなき素子の連なり、すなわち鎖の上を、質問者には綱渡りさせていくような苦しみを味わわせてしまうので、ここではしません。

しかし話を振っておいて「しません」で幕にするのもつまらないので、直観的にわかるような説明ができるかどうか、これより挑んでみます。

「濃度」ってことばが数学にはあります。これは ∞（無限）を取り扱うにあたって、それまでの大きい小さい多い少ないの考え方では取り扱いようがないことがはっきりしたので、新たに「濃度」という考え方を数学者たちがひねり出したのです。

１　２　３　４　５　６　７　８　９　…
１　　　３　　　５　　　７　　　９　…

上の数列は、見ればわかるように自然数です。果てしなく続いていく自然数の列。その数は ∞（無限）。下の数列は奇数。果てしなく続いていく奇数の列。その数はやはり ∞（無限）。

ここで「あれ、おかしいぞ？」と感じた方はガリレオ・ガリレイと同じ知性の持ち主です。自然数は奇数と偶数の二つに分かれるから、もし自然数の数が ∞ にあるとしたら、奇数や偶数については数はそれぞれ ∞÷２ という理屈になります。しかし無限を２で割るってどういうことなのでしょうね？ ガリレイ先生は当時の最高の数学者でもありましたが、ここで怖気づいて ∞ について考え続けるのを断念しました。

この道をさらに進んでいく勇者が現れるのは、さらに二世紀半も後になってからでした。彼カントルは ∞ を数えるのではなく「濃さ」で表してはどうかと閃きました。たとえば、上で紹介したこの数列ペアについては、

１　２　３　４　５　６　７　８　９　…
１　　　３　　　５　　　７　　　９　…

「同じ濃さの ∞」と呼んだのです。そして、もっと濃い ∞ として、これを例示しました。

数直線です。そのつもりで眺めてやってください。もしこの線のどこかにマウスポインタを置くと「１．０８５４３５８…」と値が表示され、ポインタを少し左に置くと「１．０４」になって、右のほうに動かすと「３．１４１５９２…」と値が変わっていく、そんな PC画面を思い浮かべてください。要するに実数ですよ。負の数も正の数も、有理数も無理数も、とにかく実数に含まれるあらゆる数が、この直線のもっと遥か左の果てより遥か右の果てにかけて「点」としてぎっしり並んでいる、そういうイメージ。

この場合の ∞ は、ひとつひとつ数えていける（countable）ので、

１　２　３　４　５　６　７　８　９　…
１　　　３　　　５　　　７　　　９　…

「可算無限」（countable infinity）と名付け、これについては

ひとつひとつを数えようがない（uncountable）ので「非可算無限」（uncountable infinity）と名付けてまえ！ というのがカントル先生の天才的閃きでした。「∞ は一種類ではなくいろいろあるんやから、その違いを『濃度』と呼ぼうやないか」と。

ここから少し話が難しくなっていきます。先ほどお見せした、これ。

もしここから

…　-4　-3　-2　-1　０　１　２　３　４　…

つまり整数（に対応する点）をピンセットか何かで抜いていった場合、残された数直線はどうなるのでしょう？

答えを先に言うと、こうなります。

「おんなじやないか」とツッコミをいれたくなったあなたは正しい。視覚化すると元とどこがどう違ったのかわかんない。しかし整数列は「可算無限」ですので、この数直線は無数に分断されているのと同じです。同じなのですが、整数に対して整数でない数のほうが「濃度」は圧倒的に大きいので、視覚化すると分断部分なんて目に見えなくなってしまうのです。

すなわち連続性が保たれていなくても、うまく理屈をこねれば連続性が保たれているとみて理屈は破綻はしないぞってことです。

破綻させないための理屈は、数学言語で語るとものすごく高度かつ冗長かつ抽象的ですが、直観的には今述べたように数直線イメージで掴める理屈です。

この結論を、数学言語で表すと、これになるのです。

PQ - QP ＝ I

これをひねり出すまでの理屈は、繰り返しますがものすごく高度かつ冗長かつ抽象的な理屈の果てしなき連続です。しかし最後にはこんなにシンプルな数式に収まってくれます。

連続でありながら不連続、不連続でありながら連続… こんな禅問答な論理が成り立つ空間が、∞ の世界の一角に存在すると思うと、不思議だねメーテル。「私もそう思うわ鉄郎」　この不思議な論理は、思わぬところで現実宇宙を統べていることが判明しています。量子力学です。電子の運動について「波」と見るか「粒子」とみるか、どちらの解釈でも実験結果と一致してしまうことにかつて科学者たちは恐れおののきました。９０年以上前のことです。

決着はある数学者がつけてくれました。

PQ - QP ＝ I

これに尽きるぞって。