建前と直感と～複利の計算～
等比数列の和の問題でたまーに出てくる「複利」の問題。
そのなかで、意味の分からない問題があった。
問題と答案と模範解答
あの当時の少年は何も考えずにこんな風に計算した。
これは間違いで、模範解答をみてみる。
すると意味の分からないことを永遠に語っている。
（少なくともあの時の私には意味が分からなかった）
「意味が分からない」の根源
そもそもの話。
単語のおさらいをしておこう。
元金：もともとのお金。今回は100万円
年利：1年間で発生する利子
元利合計：元金と利子を合計したもの
※気になって調べてみたら、「利子」と「利息」はほぼ同じ意味のよう。
受け取るものは利子、支払うものは利息なんだって。
そして「単利」と「複利」のイメージ。
単利は常に元金にのみ利息がかかる。
毎回（毎年）同じ額が増えていく。
言ってみればこれは等差数列の考え方。
複利は「元金と利子」にさらに利子がつく。
つまりは「雪だるま式」に増えるシステム。
利子にも利子が付くから、等比数列の考え方をする。
まず、なぜ間違えたか。
これは簡単で、「かかっていない利子」を計算したから。
2020年末に返済した金額には2021年以降利子がかからない。
2022年末まで利子がかかる部分、2021年末でしか利子がかからない部分。
こんな風に返済のタイミングでかかってくる利子が違うから、そこを計算しなければいけなかった。
これが間違い。
つぎに模範解答。
返済するのになぜ「積み立て」？
「100万かける1.07の3乗」って違うんじゃないの？？
そんなことを思っていたらもう頭がパニック。
「視点を変える」模範解答
模範解答で何が起こっているのか。
「毎年同じ額を返済する」ということを、違う目線からみている。
「（返済すると見せかけて）同じ額を（同じ年率で）積み立てる→3年後に一括返済する」
そうすると、積み立てる時期により、利子のつき方が変わってくる。
これで「かかってない利子計算しちゃった」の部分を処理しているわけだ。
計算上積み立てているわけで、借金は返済していないから、借金には丸々と利子3年分が積み重なっていく、という理屈。
それで、「積み立てた分＝3年後借金一括返済」という式にすることができる。
今これを書いていても、ふと自信を無くし、また納得する。
それくらい、この模範解答は「視点を変える」をしていて、すぐに納得いかない。
（少なくとも私は納得いかなかった。）
華麗な技を決めて観客を魅了するのもいいが、大学受験では「解くこと」と「正解すること」が求められるわけで、果たして何人の受験生がこの発想にたどり着くことか。
この模範解答を見て、現役自体の私は、きれいに解きすぎることの弊害を感じた。
「返済額を意識する」別解その１
100万円を返済する。
それを中心に考えた解答がこれだ。
返済のタイミングによって利子のつき方が違う。
これを明確に式にしたもの、ともいえる。
解答は途中で終わっているが、模範解答と同じ計算になるので割愛。
問題を解くときに、「返済分を積み立てと考えて…」とできる人と「100万円のうち今年返す分は利子がどれだけで…」とする人のどちらが多いか。
というか、どちらが自然か。
多くの受験生は「天才」ではないし、数学に「芸術」を見出していない。
ならば、より「直感」的な解き方をしたほうがいい。
この「直感」というのは、感覚的な意味合いより、「リニア」「直線的」という表現のほうが近い気がする。
とにかく、私はこの「直感」性を求めて数学の問題と向き合ってきた。
「残金を意識する」別解その２
久しぶりにこの問題と向き合って、そういえば、で解いた解答。
「返済後の金額が3年後に０になっていればいい。」
ただそれだけの事。
一番シンプルにこの問題を解いたらこうなるだろう。
シンプル、直感的、思いつきやすい、…
こういうものを求めると、見た目は汚くなり、計算も煩雑になったりするが、私はこっちの解答のほうが好き。
1つの問題でも、あーだこーだこねくり回すと、いろいろなものが見えてくる。
これが誰かの何かの一助になれば幸。